{"id":440,"date":"2020-03-28T15:35:52","date_gmt":"2020-03-28T18:35:52","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=440"},"modified":"2020-03-28T15:35:52","modified_gmt":"2020-03-28T18:35:52","slug":"suponha-que-a-variavel-x-tenha-os-seguintes-valores-1-2-3","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/suponha-que-a-variavel-x-tenha-os-seguintes-valores-1-2-3\/","title":{"rendered":"1) Suponha que a vari\u00e1vel X tenha os seguintes valores 1, 2, 3, … E P(X = j) = (1\/2)^j, j = 1, 2, 3, …"},"content":{"rendered":"\n

a)\u00a0Qual a probabilidade de P (X ser par)? <\/p>\n\n\n\n

b)\u00a0Qual a probabilidade de P(X ser maior ou igual a 5)? <\/p>\n\n\n\n

c)\u00a0Qual a probabilidade de P(X ser divis\u00edvel por 3)?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Essa quest\u00e3o \u00e9 muito interessante. Primeiro temos que entender bem o que o enunciado quer dizer. Sabemos que X pode ser qualquer n\u00famero natural: 1, 2, 3, … E al\u00e9m disso o problema diz que a probabilidade de X assumir um valor qualquer depende desse valor. Veja o que o problema diz:<\/p>\n\n\n\n

P(X = j) = 1\/2j<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, se X = 1, temos:<\/p>\n\n\n\n

P(X = j) = 1\/2j<\/sup><\/p>\n\n\n\n

P(X = 1) = 1\/21<\/sup><\/p>\n\n\n\n

P(X = 1) = 1\/2<\/p>\n\n\n\n

J\u00e1 se X = 2:<\/p>\n\n\n\n

P(X = j) = 1\/2j<\/sup><\/p>\n\n\n\n

P(X = 2) = 1\/22<\/sup><\/p>\n\n\n\n

P(X = 2) = 1\/4<\/p>\n\n\n\n

E assim sucessivamente, a probabilidade de X ser algum n\u00famero ser\u00e1 sempre 1\/2 elevado a esse n\u00famero. Repare que isso \u00e9 perfeito, pois se voc\u00ea fizer a soma de todas as probabilidades, ou seja:<\/p>\n\n\n\n

= P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = …)<\/p>\n\n\n\n

= 1\/2 + (1\/2)2<\/sup> + (1\/2)3<\/sup> + (1\/2)4<\/sup> + …<\/p>\n\n\n\n

= 1\/2 + 1\/4 + 1\/8 + 1\/16 + …<\/p>\n\n\n\n

Isso \u00e9 a soma de uma PG de primeiro termo 1\/2 e raz\u00e3o 1\/2. Como a raz\u00e3o \u00e9 menor que 1, a soma de todos os termos at\u00e9 o infinito \u00e9 dada pela f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

S = a1<\/sub> \/ (1 – q)<\/p>\n\n\n\n

onde, a1<\/sub> = primeiro termo e q = raz\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o a soma das probabilidades de X dar\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

S = a1<\/sub> \/ (1 – q)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/2) \/ (1 – 1\/2)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/2) \/ (1\/2)<\/p>\n\n\n\n

S = 1<\/p>\n\n\n\n

Ou seja a soma das probabilidades de todos os valores poss\u00edveis de X d\u00e1 1, que \u00e9 o que tem que acontecer sempre para uma fun\u00e7\u00e3o de probabilidade, a soma de todos os casos poss\u00edveis tem que dar sempre 1. Ent\u00e3o vamos \u00e0s perguntas:<\/p>\n\n\n\n

a) Qual a probabilidade de P (X ser par)?<\/p>\n\n\n\n

Vamos somar s\u00f3 as proabilidades de X ser par:<\/p>\n\n\n\n

= P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + P(X = 8) + P(X = …)<\/p>\n\n\n\n

= (1\/2)2<\/sup> + (1\/2)4<\/sup> + (1\/2)6<\/sup> + (1\/2)8<\/sup> + (1\/2)10<\/sup> …<\/p>\n\n\n\n

= 1\/4 + 1\/16 + 1\/64 + 1\/256 + 1\/1024 …<\/p>\n\n\n\n

= 1\/4 + (1\/4)2<\/sup> + (1\/4)3 <\/sup>+ (1\/4)4<\/sup> + (1\/4)5<\/sup> …<\/p>\n\n\n\n

E isso \u00e9 a soma de uma PG de primeiro termo 1\/4 e raz\u00e3o 1\/4. Como a raz\u00e3o \u00e9 menor que 1, podemos usar novamente a f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

S = a1<\/sub> \/ (1 – q)<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o a soma das probabilidades de X, para X ser par ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

S = a1<\/sub> \/ (1 – q)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/4) \/ (1 – 1\/4)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/4) \/ (3\/4)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/4) . (4\/3)<\/p>\n\n\n\n

S = 1\/3<\/p>\n\n\n\n

Resposta: A probabilidade de P (X ser par) \u00e9 de 1\/3.<\/p>\n\n\n\n

b) Qual a probabilidade de P(X ser maior ou igual a 5)?<\/p>\n\n\n\n

Vamos calcular a soma das probabilidades para X >= 5:<\/p>\n\n\n\n

= P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = …)<\/p>\n\n\n\n

= (1\/2)5<\/sup> + (1\/2)6<\/sup> + (1\/2)7<\/sup> + (1\/2)8<\/sup> + …<\/p>\n\n\n\n

E isso \u00e9 a soma de uma PG de primeiro termo (1\/2)5<\/sup> e raz\u00e3o 1\/2. Como a raz\u00e3o \u00e9 menor que 1, podemos usar novamente a f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

S = a1<\/sub> \/ (1 – q)<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o a soma das probabilidades de X, para X ser maior ou igual a 5 ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

S = a1<\/sub> \/ (1 – q)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/2)5<\/sup> \/ (1 – 1\/2)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/32) \/ (1\/2)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/32) . (2\/1)<\/p>\n\n\n\n

S = 1\/16<\/p>\n\n\n\n

Resposta: A probabilidade de P(X ser maior ou igual a 5) \u00e9 de 1\/16.<\/p>\n\n\n\n

c) Qual a probabilidade de P(X ser divis\u00edvel por 3)?<\/p>\n\n\n\n

Os valores de X que s\u00e3o divis\u00edveis por 3 s\u00e3o: 3, 6, 9, 12, 15, … que s\u00e3o os m\u00faltiplos de 3. Ent\u00e3o vamos calcular a soma das probabilidades desses n\u00fameros:<\/p>\n\n\n\n

= P(X = 3) + P(X = 6) + P(X = 9) + P(X = 12) + …<\/p>\n\n\n\n

= (1\/2)3<\/sup> + (1\/2)6<\/sup> + (1\/2)9<\/sup> + (1\/2)12<\/sup> + …<\/p>\n\n\n\n

E isso \u00e9 a soma de uma PG de primeiro termo (1\/2)3<\/sup> e raz\u00e3o (1\/2)3<\/sup>. Como a raz\u00e3o \u00e9 menor que 1 [(1\/2)3<\/sup> = 1\/8], podemos usar novamente a f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

S = a1<\/sub> \/ (1 – q)<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o a soma das probabilidades de X, para X ser divis\u00edvel por 3 ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

S = a1<\/sub> \/ (1 – q)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/2)3<\/sup> \/ [1 – (1\/2)3<\/sup>]<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/8) \/ (1 – 1\/8)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/8) \/ (7\/8)<\/p>\n\n\n\n

S = (1\/8) . (8\/7)<\/p>\n\n\n\n

S = 1\/7<\/p>\n\n\n\n

Resposta: A probabilidade de P(X ser divis\u00edvel por 3) \u00e9 de 1\/7.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

a)\u00a0Qual a probabilidade de P (X ser par)? b)\u00a0Qual a probabilidade de P(X ser maior ou igual a 5)? c)\u00a0Qual a probabilidade de P(X ser divis\u00edvel por 3)?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[18],"tags":[30],"class_list":["post-440","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-probabilidade","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/440","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=440"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/440\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":441,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/440\/revisions\/441"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=440"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=440"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=440"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}