{"id":438,"date":"2020-03-28T15:32:34","date_gmt":"2020-03-28T18:32:34","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=438"},"modified":"2020-03-28T15:32:34","modified_gmt":"2020-03-28T18:32:34","slug":"entre-6-cartas-e-6-enderecos-pergunta-se","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/entre-6-cartas-e-6-enderecos-pergunta-se\/","title":{"rendered":"4) Entre 6 cartas e 6 endere\u00e7os, pergunta-se:"},"content":{"rendered":"\n

a)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de pelo menos uma carta\u00a0chegar ao endere\u00e7o certo? <\/p>\n\n\n\n

b)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de somente uma carta\u00a0chegar ao endere\u00e7o certo? <\/p>\n\n\n\n

c)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de somente tr\u00eas cartas\u00a0chegarem ao endere\u00e7o certo?\u00a0<\/p>\n\n\n\n

d)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de todas as cartas\u00a0chegarem ao endere\u00e7o certo?\u00a0<\/p>\n\n\n\n

e)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de nenhuma carta chegar ao\u00a0endere\u00e7o certo?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Para esse exerc\u00edcio, usaremos a f\u00f3rmula de permuta\u00e7\u00f5es ca\u00f3ticas:<\/p>\n\n\n\n

Dn<\/sub> = n!.[1 – 1\/1! + 1\/2! – 1\/3! + 1\/4! – … +(-1)n<\/sup>\/n!]<\/p>\n\n\n\n

a) Qual \u00e9 a probabilidade de pelo menos uma carta chegar ao endere\u00e7o certo?<\/p>\n\n\n\n

\u00c9 melhor se calcularmos a probabilidade de nenhuma carta chegar ao endere\u00e7o certo (item “e”) e tirar esse resultado de 1, pois se n\u00e3o acontecer de nenhuma carta chegar ao endere\u00e7o certo, pelo menos uma delas chegar\u00e1.<\/p>\n\n\n\n

Para calcular de quantas maneiras as cartas n\u00e3o chegam no endere\u00e7o certo, temos que calcular as permuta\u00e7\u00f5es ca\u00f3ticas de 6 elementos:<\/p>\n\n\n\n

D6<\/sub> = 6!.(1 – 1\/1! + 1\/2! – 1\/3! + 1\/4! – 1\/5! + 1\/6!)<\/p>\n\n\n\n

D6<\/sub> = 6!.(1\/2 – 1\/6 + 1\/24 – 1\/5! + 1\/6!)<\/p>\n\n\n\n

D6<\/sub> = 6!.(9\/24 – 1\/5! + 1\/6!)<\/p>\n\n\n\n

D6<\/sub> = 6.5.4!.9\/4! – 6.5!\/5! + 6!\/6!<\/p>\n\n\n\n

D6<\/sub> = 6.5.9 – 6 + 1<\/p>\n\n\n\n

D6<\/sub> = 265<\/p>\n\n\n\n

A probabilidade de que uma dessas permuta\u00e7\u00f5es ca\u00f3ticas aconte\u00e7a \u00e9 esse valor dividido pelo total de permuta\u00e7\u00f5es poss\u00edveis, que \u00e9 dado por:<\/p>\n\n\n\n

P6<\/sub> = 6! = 720<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o a probabilidade de nenhuma carta chegar a seu destino correto \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

P = 265\/720<\/p>\n\n\n\n

P = 53\/144<\/p>\n\n\n\n

P =~ 0,3681<\/p>\n\n\n\n

Mas n\u00f3s queremos que pelo menos uma chegue no endere\u00e7o correto, ent\u00e3o temos que tirar isso de 1:<\/p>\n\n\n\n

P =~ 1 – 0,3681<\/p>\n\n\n\n

P =~ 0,6319<\/p>\n\n\n\n

P =~ 63,19%<\/p>\n\n\n\n

b) Qual \u00e9 a probabilidade de somente uma carta chegar ao endere\u00e7o certo?<\/p>\n\n\n\n

Para que s\u00f3 uma carta chegue ao destino correto, precisamos escolher uma das 6 cartas para que esta chegue no endere\u00e7o e depois temos que permutar as outras 5 cartas caoticamente. Para escolher 1 das 6 cartas temos 6 op\u00e7\u00f5es. E o n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es ca\u00f3ticas de 5 elementos \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

D5<\/sub> = 5!.(1 – 1\/1! + 1\/2! – 1\/3! + 1\/4! – 1\/5!)<\/p>\n\n\n\n

D5<\/sub> = 5!.(1\/2 – 1\/6 + 1\/24 – 1\/5!)<\/p>\n\n\n\n

D5<\/sub> = 5!.(9\/24 – 1\/5!)<\/p>\n\n\n\n

D5<\/sub> = 5.4!.9\/4! – 5!\/5!<\/p>\n\n\n\n

D5<\/sub> = 5.9 – 1<\/p>\n\n\n\n

D5<\/sub> = 44<\/p>\n\n\n\n

E o total de permuta\u00e7\u00f5es onde 1 carta vai para o endere\u00e7o certo \u00e9 o produto dos dois resultados:<\/p>\n\n\n\n

= 6 . 44 = 264<\/p>\n\n\n\n

A probabilidade de que isso aconte\u00e7a \u00e9 esse valor dividido pelo total de permuta\u00e7\u00f5es poss\u00edveis, que j\u00e1 vimos que \u00e9 720:<\/p>\n\n\n\n

P = 264\/720<\/p>\n\n\n\n

P = 11\/30<\/p>\n\n\n\n

P =~ 0,3667<\/p>\n\n\n\n

P =~ 36,67%<\/p>\n\n\n\n

c) Qual \u00e9 a probabilidade de somente tr\u00eas cartas chegarem ao endere\u00e7o certo?<\/p>\n\n\n\n

Agora temos que escolher 3 das 6 cartas para chegarem ao endere\u00e7o certo e depois permutar as outras 3 cartas que sobrarem caoticamente.<\/p>\n\n\n\n

Para escolher 3 das 6 cartas, temos que fazer uma combina\u00e7\u00e3o de 6 elementos tomados 3 a 3:<\/p>\n\n\n\n

C6, 3<\/sub> = 6!\/3!.3!<\/p>\n\n\n\n

C6, 3<\/sub> = 6.5.4.3!\/3!.3.2<\/p>\n\n\n\n

C6, 3<\/sub> = 6.5.4\/3.2<\/p>\n\n\n\n

C6, 3<\/sub> = 5.4<\/p>\n\n\n\n

C6, 3<\/sub> = 20<\/p>\n\n\n\n

E a permuta\u00e7\u00e3o ca\u00f3tica de 3 elementos \u00e9 igual a:<\/p>\n\n\n\n

D3<\/sub> = 3!.(1 – 1\/1! + 1\/2! – 1\/3!)<\/p>\n\n\n\n

D3<\/sub> = 3!.(1\/2 – 1\/6)<\/p>\n\n\n\n

D3<\/sub> = 6.(1\/2 – 1\/6)<\/p>\n\n\n\n

D3<\/sub> = 3 – 1<\/p>\n\n\n\n

D3<\/sub> = 2<\/p>\n\n\n\n

O total de permuta\u00e7\u00f5es com 3 cartas chegando ao endere\u00e7o certo ser\u00e1 o produto desses dois resultados:<\/p>\n\n\n\n

= 2 . 20 = 40<\/p>\n\n\n\n

E a probabilidade disso acontecer \u00e9 esse valor dividido pelo total de permuta\u00e7\u00f5es poss\u00edveis:<\/p>\n\n\n\n

P = 40\/720<\/p>\n\n\n\n

P = 1\/18<\/p>\n\n\n\n

P =~ 0,0556<\/p>\n\n\n\n

P =~ 5,56%<\/p>\n\n\n\n

d) Qual \u00e9 a probabilidade de todas as cartas chegarem ao endere\u00e7o certo?<\/p>\n\n\n\n

Precisamos saber de quantas maneiras todas as cartas podem chegar ao endere\u00e7o certo. Mas isso s\u00f3 pode acontecer de uma maneira! Ent\u00e3o a probabilidade disso acontecer \u00e9 1 dividido pelo total de permuta\u00e7\u00f5es poss\u00edveis:<\/p>\n\n\n\n

P = 1\/720<\/p>\n\n\n\n

P =~ 0,0014<\/p>\n\n\n\n

P =~ 0,14%<\/p>\n\n\n\n

e) Qual \u00e9 a probabilidade de nenhuma carta chegar ao endere\u00e7o certo?<\/p>\n\n\n\n

J\u00e1 calculamos isso no item “a”:<\/p>\n\n\n\n

P =~ 0,3681<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

a)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de pelo menos uma carta\u00a0chegar ao endere\u00e7o certo? b)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de somente uma carta\u00a0chegar ao endere\u00e7o certo? c)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de somente tr\u00eas cartas\u00a0chegarem ao endere\u00e7o certo?\u00a0 d)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de todas as cartas\u00a0chegarem ao endere\u00e7o certo?\u00a0 e)\u00a0Qual \u00e9 a probabilidade de… <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[18],"tags":[29],"class_list":["post-438","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-probabilidade","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/438","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=438"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/438\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":439,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/438\/revisions\/439"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=438"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=438"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=438"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}