Qual \u00e9 a probabilidade de que as tr\u00eas urnas fiquem com a composi\u00e7\u00e3o inicial de bolas brancas e vermelhas? (isto \u00e9, mesmo que entre elas troquem a composi\u00e7\u00e3o, por exemplo a primeira ficar com quatro brancas e uma vermelha e a terceira com tr\u00eas brancas e duas vermelhas).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Se vamos tirar uma bola de uma urna, s\u00f3 pode acontecer duas coisas, ou sai uma bola branca ou uma bola vermelha. Ent\u00e3o, primeiro vamos ver todas as possibilidades que temos de retiradas considerando as 3 retiradas que faremos, porque n\u00e3o \u00e9 muita coisa e a\u00ed vamos ver quais deixam as urnas com a mesma composi\u00e7\u00e3o. Na tabela abaixo coloco a cor da bola que sai da referida urna, onde B \u00e9 branca e V \u00e9 vermelha:<\/p>\n\n\n\n
1\u00aa 2\u00aa 3\u00aa<\/p>\n\n\n\n
B B B<\/p>\n\n\n\n
V V V<\/p>\n\n\n\n
B B V<\/p>\n\n\n\n
B V B<\/p>\n\n\n\n
V B B<\/p>\n\n\n\n
B V V<\/p>\n\n\n\n
V B V<\/p>\n\n\n\n
V V B<\/p>\n\n\n\n
Os dois primeiros casos s\u00e3o \u00f3bvios que a composi\u00e7\u00e3o das urnas permanece a mesma porque voc\u00ea s\u00f3 vai tirar e colocar sempre a mesma cor. Agora precisamos ver nas outras 6 maneiras se h\u00e1 alguma que as composi\u00e7\u00f5es n\u00e3o se alteram. Para isso n\u00e3o tem jeito, tem que fazer uma por uma e ver no que d\u00e1.<\/p>\n\n\n\n
B B V<\/p>\n\n\n\n
1\u00aa urna fica com 2B3V<\/p>\n\n\n\n
2\u00aa urna fica com 2B3V<\/p>\n\n\n\n
3\u00aa urna fica com 5B0V<\/p>\n\n\n\n
N\u00e3o serve!<\/p>\n\n\n\n
B V B<\/p>\n\n\n\n
1\u00aa urna fica com 3B2V<\/p>\n\n\n\n
2\u00aa urna fica com 3B2V<\/p>\n\n\n\n
3\u00aa urna fica com 3B2V<\/p>\n\n\n\n
N\u00e3o serve!<\/p>\n\n\n\n
V B B<\/p>\n\n\n\n
1\u00aa urna fica com 4B1V<\/p>\n\n\n\n
2\u00aa urna fica com 1B4V<\/p>\n\n\n\n
3\u00aa urna fica com 4B1V<\/p>\n\n\n\n
N\u00e3o serve!<\/p>\n\n\n\n
B V V<\/p>\n\n\n\n
1\u00aa urna fica com 2B3V<\/p>\n\n\n\n
2\u00aa urna fica com 3B2V<\/p>\n\n\n\n
3\u00aa urna fica com 4B1V<\/p>\n\n\n\n
Opa! Aqui mudou a ordem das duas primeiras urnas, mas a composi\u00e7\u00e3o \u00e9 a mesma de acordo com o enunciado!<\/p>\n\n\n\n
V B V<\/p>\n\n\n\n
1\u00aa urna fica com 3B2V<\/p>\n\n\n\n
2\u00aa urna fica com 1B4V<\/p>\n\n\n\n
3\u00aa urna fica com 5B0V<\/p>\n\n\n\n
N\u00e3o serve!<\/p>\n\n\n\n
V V B<\/p>\n\n\n\n
1\u00aa urna fica com 4B1V<\/p>\n\n\n\n
2\u00aa urna fica com 2B3V<\/p>\n\n\n\n
3\u00aa urna fica com 3B2V<\/p>\n\n\n\n
Opa! Aqui mudou a ordem da primeira com a \u00faltima urna, mas a composi\u00e7\u00e3o \u00e9 a mesma de acordo com o enunciado!<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o temos 4 eventos que nos favorecem:<\/p>\n\n\n\n
BBB, VVV, BVV e VVB<\/p>\n\n\n\n
Agora precisamos calcular a probabilidade de cada um e somar todas.<\/p>\n\n\n\n
BBB:<\/p>\n\n\n\n
Para tirar uma bola branca da primeira urna, temos 3 brancas em 5 bolas (3\/5). Depois colocamos a branca na segunda e agora temos que tirar outra branca, mas temos 3 brancas em 6 bolas (3\/6) e por fim, depois de colocar uma branca na terceira urna, temos que tirar outra branca, mas temos 5 brancas em 6 bolas (5\/6). Ent\u00e3o a probabilidade das 3 coisas acontecerem \u00e9:<\/p>\n\n\n\n
= (3\/5).(3\/6).(5\/6)<\/p>\n\n\n\n
= 45\/180<\/p>\n\n\n\n
VVV:<\/p>\n\n\n\n
Para tirar uma bola vermelha da primeira urna, temos 2 vermelhas em 5 bolas (2\/5). Depois colocamos a vermelha na segunda e agora temos que tirar outra vermelha, mas temos 4 vermelhas em 6 bolas (4\/6) e por fim, depois de colocar uma vermelha na terceira urna, temos que tirar outra vermelha, mas temos 2 vermelhas em 6 bolas (2\/6). Ent\u00e3o a probabilidade das 3 coisas acontecerem \u00e9:<\/p>\n\n\n\n
= (2\/5).(4\/6).(2\/6)<\/p>\n\n\n\n
= 16\/180<\/p>\n\n\n\n
BVV:<\/p>\n\n\n\n
Para tirar uma bola branca da primeira urna, temos 3 brancas em 5 bolas (3\/5). Depois colocamos a branca na segunda e agora temos que tirar uma vermelha, mas temos 3 vermelhas em 6 bolas (3\/6) e por fim, depois de colocar uma vermelha na terceira urna, temos que tirar outra vermelha, mas temos 2 vermelhas em 6 bolas (2\/6). Ent\u00e3o a probabilidade das 3 coisas acontecerem \u00e9:<\/p>\n\n\n\n
= (3\/5).(3\/6).(2\/6)<\/p>\n\n\n\n
= 18\/180<\/p>\n\n\n\n
VVB:<\/p>\n\n\n\n
Para tirar uma bola vermelha da primeira urna, temos 2 vermelhas em 5 bolas (2\/5). Depois colocamos a vermelha na segunda e agora temos que tirar outra vermelha, mas temos 4 vermelhas em 6 bolas (4\/6) e por fim, depois de colocar uma vermelha na terceira urna, temos que tirar uma branca, mas temos 4 brancas em 6 bolas (4\/6). Ent\u00e3o a probabilidade das 3 coisas acontecerem \u00e9:<\/p>\n\n\n\n
= (2\/5).(4\/6).(4\/6)<\/p>\n\n\n\n
= 32\/180<\/p>\n\n\n\n
E agora vamos somar todas as probabilidades:<\/p>\n\n\n\n
p = 45\/180 + 16\/180 + 18\/180 + 32\/180<\/p>\n\n\n\n
p = 111\/180<\/p>\n\n\n\n
p = 37\/60<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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