{"id":430,"date":"2020-03-28T15:25:49","date_gmt":"2020-03-28T18:25:49","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=430"},"modified":"2020-03-28T15:25:49","modified_gmt":"2020-03-28T18:25:49","slug":"lanca-se-um-dado-8-vezes-qual-a-probabilidade-aproximada-de-sair-exatamente-5-numeros-iguais-a-3","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/lanca-se-um-dado-8-vezes-qual-a-probabilidade-aproximada-de-sair-exatamente-5-numeros-iguais-a-3\/","title":{"rendered":"5) Lan\u00e7a-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade aproximada de sair exatamente 5 n\u00fameros iguais a 3?"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Queremos que saia o 3 exatamente 5 vezes, isso quer dizer que as outras 3 vezes tem que sair um n\u00famero diferente de 3. Temos que calcular tr\u00eas coisas:<\/p>\n\n\n\n

i) o total de resultados ao jogarmos o dado 8 vezes;<\/p>\n\n\n\n

ii) o n\u00famero de maneiras de sair cinco vezes o 3 e mais tr\u00eas n\u00fameros diferentes;<\/p>\n\n\n\n

iii) o n\u00famero de maneiras de escolhermos os 5 dados que ter\u00e3o os n\u00fameros 3.<\/p>\n\n\n\n

i) Como temos 8 dados e cada um tem 6 resultados poss\u00edveis, pelo princ\u00edpio multiplicativo, temos um total de:<\/p>\n\n\n\n

6.6.6.6.6.6.6.6 = 68<\/sup> resultados<\/p>\n\n\n\n

ii) Escolha 5 dados qualquer para tirar 3 e outos 3 para sair outros n\u00fameros. De quantas maneiras podemos tirar 3 nesses 5 dados? Como temos 8 dados:<\/p>\n\n\n\n

_ _ _ _ _ _ _ _<\/p>\n\n\n\n

Vamos tirar 3 nos 5 primeiros. Ent\u00e3o s\u00f3 temos uma op\u00e7\u00e3o para cada um deles:<\/p>\n\n\n\n

1 1 1 1 1
_ _ _ _ _ _ _ _<\/p>\n\n\n\n

E os \u00faltimos 3 dados temos 5 op\u00e7\u00f5es para cada, pois s\u00f3 n\u00e3o pode sair 3:<\/p>\n\n\n\n

1 1 1 1 1 5 5 5
_ _ _ _ _ _ _ _<\/p>\n\n\n\n

O que d\u00e1 um total de 1.1.1.1.1.5.5.5 = 53<\/sup><\/p>\n\n\n\n

iii) N\u00e3o necessariamente precisa sair 3 nos 5 primeiros dados, podem sair nos 5 \u00faltimos, ou intercalado. De Quantas maneiras podemos escolher os cinco dados que sair\u00e3o o n\u00famero 3. Isso \u00e9 o n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es de 8 elementos tomados 5 a 5:<\/p>\n\n\n\n

C8, 5<\/sub> = 8!\/5!.3!<\/p>\n\n\n\n

C8, 5<\/sub> = 8.7.6.5!\/5!.3!<\/p>\n\n\n\n

C8, 5<\/sub> = 8.7.6\/3!<\/p>\n\n\n\n

C8, 5<\/sub> = 8.7.6\/3.2<\/p>\n\n\n\n

C8, 5<\/sub> = 8.7.6\/6<\/p>\n\n\n\n

C8, 5<\/sub> = 8.7<\/p>\n\n\n\n

C8, 5<\/sub> = 56 maneiras<\/p>\n\n\n\n

Agora temos que para cada uma das 56 maneiras de escolhermos 5 dados, temos 5^3 maneiras de tirarmos cinco vezes o 3, o que d\u00e1 um total de:<\/p>\n\n\n\n

56.53<\/sup> maneiras de tirar cinco vezes o 3 em 8 dados.<\/p>\n\n\n\n

Como queremos saber a probabilidade de que isso aconte\u00e7a, temos que dividir esse total de casos favor\u00e1veis pelo total de casos poss\u00edveis:<\/p>\n\n\n\n

Probabilidade = favor\u00e1veis\/poss\u00edveis<\/p>\n\n\n\n

Probabilidade = 56.53<\/sup> \/ 68<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Probabilidade = 7000 \/ 1679616<\/p>\n\n\n\n

Probabilidade =~ 0,00417<\/p>\n\n\n\n

Probabilidade =~ 0,417 %<\/p>\n\n\n\n

Ainda pode calcular de outra maneira. Sabendo que a chance de sair 3 num dado \u00e9 1\/6 e de n\u00e3o sair \u00e9 5\/6. Precisamos que saia o n\u00famero 3 cinco vezes e que saia outros n\u00fameros 3 vezes (para completar os 8 dados):<\/p>\n\n\n\n

= (1\/6)5<\/sup>.(5\/6)3<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Mas se escrevemos apenas isso, estamos considerando que queremos que o primeiro dado saia 3, o segundo tamb\u00e9m, at\u00e9 o quinto e os 3 \u00faltimos saiam 5. Mas isso pode sair em outra ordem, ent\u00e3o precisamos calcular de quantas maneiras isso pode acontecer. S\u00e3o todas as maneiras de permutar esses 8 elementos, sendo que se trocamos dois dados que s\u00e3o iguais a 3 de ordem nada se altera. Isso \u00e9 ent\u00e3o uma permuta\u00e7\u00e3o de 8 elementos com repeti\u00e7\u00e3o de 3 e 5:<\/p>\n\n\n\n

P8<\/sub>3,5<\/sup>= 8!\/(5!.3!) = 56<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o temos 56 vezes a probabilidade acima:<\/p>\n\n\n\n

= 56.(1\/6)5<\/sup>.(5\/6)3<\/sup><\/p>\n\n\n\n

= 56.53<\/sup>\/68<\/sup>=~ 0,417 %\n\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[18],"tags":[27],"class_list":["post-430","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-probabilidade","tag-medio"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/430","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=430"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/430\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":431,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/430\/revisions\/431"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=430"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=430"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=430"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}