{"id":393,"date":"2020-03-28T13:52:54","date_gmt":"2020-03-28T16:52:54","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=393"},"modified":"2020-03-28T13:52:54","modified_gmt":"2020-03-28T16:52:54","slug":"problema-de-gregory","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/problema-de-gregory\/","title":{"rendered":"1) As \u00e1reas de dois pol\u00edgonos regulares com n lados, um inscrito e o outro circunscrito a uma mesma circunfer\u00eancia, s\u00e3o respectivamente s e S. Calcular as \u00e1reas dos dois pol\u00edgonos regulares inscritos e circunscritos \u00e0 mesma circunfer\u00eancia e de n\u00famero duplo (2n) de lados. (Problema de Gregory)"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Essa \u00e9 complicada. Esbocei uma figura pra tentar facilitar.<\/p>\n\n\n\n

\"Problema<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Primeiro vamos aos pol\u00edgonos de n lados inscrito e circunscrito. Se voc\u00ea tem um pol\u00edgono de n lados inscrito numa circunfer\u00eancia (na figura est\u00e1 em azul), voc\u00ea pode divid\u00ed-lo em n tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles com dois lados iguais ao raio da circunfer\u00eancia. Assim, voc\u00ea pode calcular o \u00e2ngulo entre esses lados, porque como voc\u00ea tem n tri\u00e2ngulos, e a circunfer\u00eancia toda tem 2.pi radianos, esse \u00e2ngulo entre os lados iguais dos tri\u00e2ngulos s\u00e3o todos iguais a 2.pi\/n, pois voc\u00ea dividiu a circunfer\u00eancia toda em n \u00e2ngulos.<\/p>\n\n\n\n

Agora voc\u00ea pode usar a f\u00f3rmula da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo que usa dois lados e o seno entre eles para achar a \u00e1rea de um desses tri\u00e2ngulos. Voc\u00ea tem dois lados iguais ao raio e o \u00e2ngulo entre eles vale 2.pi\/n:<\/p>\n\n\n\n

= r.r.sen(2.pi\/n)\/2<\/p>\n\n\n\n

= r2<\/sup>.sen(2.pi\/n)\/2<\/p>\n\n\n\n

E voc\u00ea sabe que “s” \u00e9 a soma de n vezes a \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo:<\/p>\n\n\n\n

s = n.r2<\/sup>.sen(2.pi\/n)\/2<\/p>\n\n\n\n

Agora fa\u00e7amos o mesmo para o pol\u00edgono circunscrito. No caso desse pol\u00edgono de n lados, s\u00f3 que circunscrito, ao divid\u00ed-lo em n tri\u00e2ngulos, o \u00e2ngulo entre os lados iguais tamb\u00e9m vale 2.pi\/n, mas agora o lado n\u00e3o \u00e9 mais r. Agora r \u00e9 a altura desse tri\u00e2ngulo. Veja o tri\u00e2ngulo na figura acima. L \u00e9 o lado do tri\u00e2ngulo, r \u00e9 a altura e o \u00e2ngulo alfa (a) \u00e9 metade do \u00e2ngulo do tri\u00e2ngulo entre os lados congruentes (2.pi\/n), ent\u00e3o a = pi\/n.<\/p>\n\n\n\n

Para acharmos o lado do tri\u00e2ngulo em fun\u00e7\u00e3o do raio podemos usar o cosseno de a:<\/p>\n\n\n\n

cos a = r\/L<\/p>\n\n\n\n

cos (pi\/n) = r\/L<\/p>\n\n\n\n

L.cos (pi\/n) = r<\/p>\n\n\n\n

L = r\/[cos (pi\/n)]<\/p>\n\n\n\n

Agora podemos achar a \u00e1rea de um desses tri\u00e2ngulos com dois lados iguais a r\/[cos (pi\/n)] e o \u00e2ngulo entre eles igual a 2.pi\/n:<\/p>\n\n\n\n

= {r\/[cos (pi\/n)]}.{r\/[cos (pi\/n)]}.sen (2.pi\/n)\/2<\/p>\n\n\n\n

= r2<\/sup>.sen (2.pi\/n)\/2.[cos (pi\/n)]2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

E voc\u00ea sabe que “S” \u00e9 a soma de n vezes a \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo:<\/p>\n\n\n\n

S = n.r2<\/sup>.sen (2.pi\/n)\/2.[cos (pi\/n)]2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Para melhorar um pouco a cara dessas f\u00f3rmulas, vou fazer a = pi\/n e 2a = 2.pi\/n:<\/p>\n\n\n\n

s = n.r2<\/sup>.sen(2.pi\/n)\/2<\/p>\n\n\n\n

s = n.r2<\/sup>.sen(2a)\/2<\/p>\n\n\n\n

s = n.r2<\/sup>.2.(sen a).(cos a)\/2<\/p>\n\n\n\n

s = n.r2<\/sup>.(sen a).(cos a)<\/p>\n\n\n\n

S = n.r2<\/sup>.sen (2.pi\/n)\/2.[cos (pi\/n)]2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

S = n.r2<\/sup>.sen (2a)\/2.(cos a)2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

S = n.r2<\/sup>.2.(sen a).(cos a)\/2.(cos a)2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

S = n.r2<\/sup>.(sen a).(cos a)\/(cos a)2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

S = n.r2<\/sup>.(sen a)\/(cos a)<\/p>\n\n\n\n

At\u00e9 a\u00ed tudo bem. Agora vamos ver os pol\u00edgonos de 2n lados. Eles s\u00e3o praticamente iguais a esses. Ent\u00e3o para o pol\u00edgono inscrito temos a mesma coisa que para o de n lados.<\/p>\n\n\n\n

Se voc\u00ea tem um pol\u00edgono de 2n lados inscrito numa circunfer\u00eancia, voc\u00ea pode divid\u00ed-lo em 2n tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles com dois lados iguais ao raio da circunfer\u00eancia. Assim, voc\u00ea pode calcular o \u00e2ngulo entre esses lados, porque como voc\u00ea tem 2n tri\u00e2ngulos, e a circunfer\u00eancia toda tem 2.pi radianos, esse \u00e2ngulo entre os lados iguais dos tri\u00e2ngulos s\u00e3o todos iguais a 2.pi\/2n, pois voc\u00ea dividiu a circunfer\u00eancia toda em 2n \u00e2ngulos.<\/p>\n\n\n\n

Agora voc\u00ea pode usar a f\u00f3rmula da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo que usa dois lados e o seno entre eles para achar a \u00e1rea de um desses tri\u00e2ngulos. Voc\u00ea tem dois lados iguais ao raio e o \u00e2ngulo entre eles vale 2.pi\/2n:<\/p>\n\n\n\n

= r.r.sen(2.pi\/2n)\/2<\/p>\n\n\n\n

= r2<\/sup>.sen(pi\/n)\/2<\/p>\n\n\n\n

E voc\u00ea sabe que a \u00e1rea desse pol\u00edgono \u00e9 a soma de 2n vezes a \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo:<\/p>\n\n\n\n

= 2n.r2<\/sup>.sen(pi\/n)\/2<\/p>\n\n\n\n

= n.r2<\/sup>.sen(pi\/n)<\/p>\n\n\n\n

Para ficar parecido com o que usamos em s e S, vou chamar logo esse \u00e2ngulo pi\/n de “a”:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea I = n.r2<\/sup>.sen(pi\/n)<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea I = n.r2<\/sup>.(sen a)<\/p>\n\n\n\n

Agora precisamos escrever isso em fun\u00e7\u00e3o de s e S. A\u00ed \u00e9 que vem a primeira complica\u00e7\u00e3o e que voc\u00ea precisa de um pouco de criatividade. Voc\u00ea tem que perceber que como voc\u00ea tem que sumir com o cosseno, voc\u00ea pode multiplicar s por S:<\/p>\n\n\n\n

S.s = [n.r2<\/sup>.(sen a).(cos a)].[n.r2<\/sup>.(sen a)\/(cos a)]<\/p>\n\n\n\n

S.s = [n.r2<\/sup>.(sen a)].[n.r2<\/sup>.(sen a)]<\/p>\n\n\n\n

S.s = [n.r2<\/sup>.(sen a)2<\/sup>].[n.r2<\/sup>]<\/p>\n\n\n\n

S.s = n2<\/sup>.(r4<\/sup>).(sen a)2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Se tirar a raiz dos dois membros voc\u00ea chega na \u00e1rea I:<\/p>\n\n\n\n

raiz(S.s) = n.r2<\/sup>.(sen a)<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o a \u00e1rea do pol\u00edgono inscrito de 2n lados \u00e9 igual a raiz(S.s).<\/p>\n\n\n\n

Agora o pol\u00edgono circunscrito de 2n lados tamb\u00e9m tem \u00e1rea semelhante ao circunscrito de n lados. Mas agora aquele \u00e2ngulo que era alfa vai mudar. Agora o \u00e2ngulo entre os dois lados dos 2n tri\u00e2ngulos nesse pol\u00edgono circunscrito de 2n lados \u00e9 2.pi\/2n, ou seja pi\/n que estamos chamando de “a” para facilitar. S\u00f3 que se pegarmos um tri\u00e2ngulo como fizemos para o pol\u00edgono de n lados circunscrito (o tri\u00e2ngulo da figura), onde t\u00ednhamos o \u00e2ngulo “a” teremos agora a\/2. E teremos que fazer a mesma coisa de novo para achar o lado desse pol\u00edgono em fun\u00e7\u00e3o do raio e desse \u00e2ngulo:<\/p>\n\n\n\n

cos (a\/2) = r\/L<\/p>\n\n\n\n

L.cos (a\/2) = r<\/p>\n\n\n\n

L = r\/[cos (a\/2)]<\/p>\n\n\n\n

Agora podemos achar a \u00e1rea de um desses tri\u00e2ngulos com dois lados iguais a r\/[cos (a\/2)] e o \u00e2ngulo entre eles igual a “a” (2.pi\/2n = pi\/n):<\/p>\n\n\n\n

= {r\/[cos (a\/2)]}.{r\/[cos (a\/2)]}.(sen a)\/2<\/p>\n\n\n\n

= r2<\/sup>.(sen a)\/2.[cos (a\/2)]2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

E para melhorar a cara disso, vamos transformar cos (a\/2) em cos a. Para isso usaremos a f\u00f3rmula cos 2a = cos2<\/sup> a – sen2<\/sup> a:<\/p>\n\n\n\n

cos 2a = cos2<\/sup> a – sen2<\/sup> a<\/p>\n\n\n\n

cos a = cos2<\/sup> (a\/2) – sen2<\/sup> (a\/2)<\/p>\n\n\n\n

cos a = cos2<\/sup> (a\/2) – [1 – cos2<\/sup> (a\/2)]<\/p>\n\n\n\n

cos a = cos2<\/sup> (a\/2) – 1 + cos2<\/sup> (a\/2)<\/p>\n\n\n\n

cos a = 2.cos2<\/sup> (a\/2) – 1<\/p>\n\n\n\n

cos a + 1 = 2.cos2<\/sup> (a\/2)<\/p>\n\n\n\n

(cos a + 1)\/2 = cos2<\/sup> (a\/2)<\/p>\n\n\n\n

cos2<\/sup> (a\/2) = (cos a + 1)\/2<\/p>\n\n\n\n

Como temos cos2<\/sup> (a\/2) na f\u00f3rmula ficou mais f\u00e1cil:<\/p>\n\n\n\n

= r2<\/sup>.(sen a)\/2.[cos (a\/2)]2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

= r2<\/sup>.(sen a)\/2.[(cos a + 1)\/2]<\/p>\n\n\n\n

= r2<\/sup>.(sen a)\/(cos a + 1)<\/p>\n\n\n\n

E como essa \u00e9 a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo, para termos a \u00e1rea dos 2n tri\u00e2ngulos, que \u00e9 a \u00e1rea do pol\u00edgono fazemos:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea II = 2n.r2<\/sup>.(sen a)\/(cos a + 1)<\/p>\n\n\n\n

Agora vem a pior coisa desse exerc\u00edcio, que \u00e9 escrever isso em fun\u00e7\u00e3o de s e S. \u00c9 depois de muita tentativa que voc\u00ea consegue fazer isso, n\u00e3o \u00e9 s\u00f3 olhar e achar que vai fazer de cara, \u00e9 dif\u00edcil mesmo. Bom, vou tentar dizer como voc\u00ea poderia ir pensando pra fazer isso. Veja que no numerador voc\u00ea tem algo parecido com a \u00e1rea do pol\u00edgono inscrito, que j\u00e1 vimos que era raiz(Ss):<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea II = 2n.r2<\/sup>.(sen a)\/(cos a + 1)<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea II = 2.raiz(Ss)\/(cos a + 1)<\/p>\n\n\n\n

Agora voc\u00ea precisa ver se escreve o denominador tamb\u00e9m. Veja que se voc\u00ea tiver 1\/(cos a) + 1 voc\u00ea pode chegar em algo parecido com o denominador:<\/p>\n\n\n\n

1\/(cos a) + 1 = (1 + cos a)\/(cos a) (i)<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o se voc\u00ea olhar em S, voc\u00ea v\u00ea que tem um cos a no denominador tamb\u00e9m:<\/p>\n\n\n\n

S = n.r2<\/sup>.(sen a)\/(cos a)<\/p>\n\n\n\n

E para ter 1\/(cos a) + 1 voc\u00ea precisa ter outra express\u00e3o que tenha tudo o que S tem, menos o cos a no denominador. Mas n.r2<\/sup>.(sen a) \u00e9 exatamente a raiz(Ss), ent\u00e3o se somar os dois pode colocar n.r2<\/sup>.(sen a) em evid\u00eancia:<\/p>\n\n\n\n

S + raiz(Ss) = n.r2<\/sup>.(sen a)\/(cos a) + n.r2<\/sup>.(sen a)<\/p>\n\n\n\n

S + raiz(Ss) = n.r2<\/sup>.(sen a).[1\/(cos a) + 1], aqui coloca i,<\/p>\n\n\n\n

S + raiz(Ss) = n.r2<\/sup>.(sen a).(1 + cos a)\/(cos a)<\/p>\n\n\n\n

Mas desse jeito ainda n\u00e3o adianta, temos que sumir com n.r2<\/sup>.(sen a)\/(cos a). Opa! Isso \u00e9 igual a S! Ent\u00e3o, temos que colocar um S multiplicando no numerador para cancelar, e a\u00ed ficamos com:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea II = 2.raiz(Ss)\/(cos a + 1)<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea II = 2.S.raiz(Ss)\/[S + raiz(Ss)]<\/p>\n\n\n\n

Respostas:<\/p>\n\n\n\n

Pol\u00edgono inscrito de 2n lados: raiz(S.s)<\/p>\n\n\n\n

Pol\u00edgono circunscrito de 2n lados: 2.S.raiz(Ss)\/[S + raiz(Ss)]<\/p>\n\n\n\n

Esse foi bem complicado. Espero que consiga entender tudo. Para voc\u00ea entender melhor aconselho ir escrevendo junto e colocando todas as passagens. Primeiro voc\u00ea poderia fazer a verifica\u00e7\u00e3o da resposta, colocando os valores de S e s que encontramos nas \u00e1reas das respostas pra ver que d\u00e1 realmente as \u00e1reas que encontramos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[16],"tags":[30],"class_list":["post-393","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-poligonos","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/393","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=393"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/393\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":395,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/393\/revisions\/395"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=393"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=393"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=393"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}