{"id":390,"date":"2020-03-28T13:50:18","date_gmt":"2020-03-28T16:50:18","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=390"},"modified":"2020-03-28T13:50:18","modified_gmt":"2020-03-28T16:50:18","slug":"abcdefgh-e-um-octogono-regular-inscrito-num-circulo-de-raio-5m","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/abcdefgh-e-um-octogono-regular-inscrito-num-circulo-de-raio-5m\/","title":{"rendered":"4) ABCDEFGH \u00e9 um oct\u00f3gono regular, inscrito num c\u00edrculo de raio 5m; A’ , C’ , E’ e G’ s\u00e3o os pontos sim\u00e9tricos dos v\u00e9rtices A , C , E e G em rela\u00e7\u00e3o \u00e0s diagonais BH, BD, DF e FH. Calcule a \u00e1rea do oct\u00f3gono c\u00f4ncavo A’BC’DE’FG’H."},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n
\"oct\u00f3gono<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Temos o oct\u00f3gono ABCDEFGH inscrito na circunfer\u00eancia de raio 5. E os pontos sim\u00e9tricos A\u00b4, C\u00b4, E\u00b4, e G\u00b4 em rela\u00e7\u00e3o \u00e0s diagonais BH, BD, DF e FH.<\/p>\n\n\n\n

Para calcular a \u00e1rea que queremos podemos calcular a \u00e1rea do quadrado BDFH e dele tirar 4 vezes a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo como o A\u00b4BH. O que sobra dentro do quadrado, tirando esses 4 tri\u00e2ngulos (A\u00b4BH, BC\u00b4D, DE\u00b4F, FG\u00b4H) todos iguais, \u00e9 o oct\u00f3gono pedido.<\/p>\n\n\n\n

O lado do quadrado podemos ver que vale 5.raiz(2), porque a diagonal do quadrado \u00e9 o di\u00e2metro do c\u00edrculo circunscrito, que vale 10.<\/p>\n\n\n\n

Assim, a \u00e1rea do quadrado ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

quadrado = 50m2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Para calcularmos a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo A\u00b4BH, vou calcular a do ABH que s\u00e3o iguais. Para isso precisamos saber o \u00e2ngulo interno de um oct\u00f3gono, que podemos tirar da f\u00f3rmula para o \u00e2ngulo interno de um pol\u00edgono regular de n lados:<\/p>\n\n\n\n

ai<\/sub> = (n – 2).180\/n<\/p>\n\n\n\n

Fazendo n = 8:<\/p>\n\n\n\n

ai<\/sub> = 135\u00b0<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o podemos usar a lei dos cossenos no tri\u00e2ngulo ABH chamando AB = AH = L, o lado do oct\u00f3gono. Como BH \u00e9 o lado do quadrado = 5.raiz(2):<\/p>\n\n\n\n

BH2<\/sup> = AB2<\/sup> + AH2<\/sup> – 2.AB.AH.(cos 135\u00b0)<\/p>\n\n\n\n

50 = 2L2<\/sup> + L2<\/sup>.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

L2<\/sup> = 25.[2 – raiz(2)]<\/p>\n\n\n\n

N\u00e3o vou tirar a raiz de L2<\/sup> para achar L, porque para sabermos a \u00e1rea precisaremos de L2<\/sup> mesmo. Usando a seguinte f\u00f3rmula da \u00e1rea:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea ABH = AB.AH.(sen 135\u00b0)\/2<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea ABH = [L2<\/sup>.raiz(2)\/2]\/2<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea ABH = 25.[2 – raiz(2)].raiz(2)\/4<\/p>\n\n\n\n

E agora podemos achar a \u00e1rea do oct\u00f3gono c\u00f4ncavo pedido:<\/p>\n\n\n\n

oct = quadrado – 4.ABH<\/p>\n\n\n\n

oct = 50 – 4.25.[2 – raiz(2)].raiz(2)\/4<\/p>\n\n\n\n

oct = 50 – 25.[2 – raiz(2)].raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

oct = 50 – 50.raiz(2) + 50<\/p>\n\n\n\n

oct = 100 – 50.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

oct =~ 29,29 m2<\/sup><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[16],"tags":[29],"class_list":["post-390","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-poligonos","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/390","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=390"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/390\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":392,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/390\/revisions\/392"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=390"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=390"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=390"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}