Primeiro vamos descobrir qiantas passam pelo centro da circunfer\u00eancia circunscrita a esse pol\u00edgono. S\u00f3 passar\u00e3o pelo centro da circunfer\u00eancia as diagonais que dividem o pol\u00edgono exatamente ao meio, deixando cada metade inscrita numa semi-circunfer\u00eancia. Se o pol\u00edgono tem 2n lados, ele tem 2n v\u00e9rtices e como 2n \u00e9 um n\u00famero par, o pol\u00edgono tem um n\u00famero par de lados e v\u00e9rtices. Para dividir o pol\u00edgono ao meio teremos que pegar dois v\u00e9rtices opostos.<\/p>\n\n\n\n
Cada v\u00e9rtice s\u00f3 tem um \u00fanico v\u00e9rtice oposto a ele, o que nos d\u00e1 2n diagonais passando pelo centro. Entretanto, nesse caso estamos contando duas vezes cada diagonal, pois se pegarmos todos os v\u00e9rtices, estamos contando, por exemplo, a diagonal AN uma vez pelo v\u00e9rtice A e outra vez pelo v\u00e9rtice N. Ent\u00e3o na verdade temos:<\/p>\n\n\n\n
“n” diagonais passando pelo centro da circunfer\u00eancia<\/p>\n\n\n\n
Mas queremos saber quantas n\u00e3o passam, ent\u00e3o temos que tirar as que passam pelo centro, do total de diagonais. Para calcularmos o total, podemos pensar o seguinte. De cada v\u00e9rtice partem 2n – 3 diagonais (s\u00f3 n\u00e3o partem diagonais para os v\u00e9rtices consecutivos, pois s\u00e3o lados do pol\u00edgono, e nem para o pr\u00f3prio v\u00e9rtice). Como temos um total de 2n v\u00e9rtices teremos:<\/p>\n\n\n\n
2n.(2n – 3) = 4n2<\/sup> – 6n<\/p>\n\n\n\n Mas novamente estamos contando duas vezes cada diagonal porque pegamos todos os v\u00e9rtices e como cada diagonal tem duas pontas, em dois v\u00e9rtices diferentes, contamos o dobro de diagonais. Ent\u00e3o temos que dividir o n\u00famero de diagonais por dois:<\/p>\n\n\n\n (4n2<\/sup> – 6n)\/2<\/p>\n\n\n\n Esse \u00e9 o total de diagonais. Agora vamos tirar as que passam pelo centro:<\/p>\n\n\n\n = (4n2<\/sup> – 6n)\/2 – n<\/p>\n\n\n\n = (4n2<\/sup> – 6n – 2n)\/2<\/p>\n\n\n\n = (4n2<\/sup> – 8n)\/2<\/p>\n\n\n\n = 4n(n – 2)\/2<\/p>\n\n\n\n = 2n(n – 2)<\/p>\n\n\n\n Resposta: Num pol\u00edgono regular de 2n lados, 2n(n – 2) diagonais n\u00e3o passam pelo centro da circunfer\u00eancia circunscrita a esse pol\u00edgono.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[16],"tags":[29],"class_list":["post-388","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-poligonos","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/388","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=388"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/388\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":389,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/388\/revisions\/389"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=388"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=388"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=388"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}