{"id":386,"date":"2020-03-28T13:45:23","date_gmt":"2020-03-28T16:45:23","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=386"},"modified":"2020-03-28T13:45:23","modified_gmt":"2020-03-28T16:45:23","slug":"os-raios-ob-oc-e-od-de-tres-circulos-concentricos-a-um-circulo-de-raio-oar","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/os-raios-ob-oc-e-od-de-tres-circulos-concentricos-a-um-circulo-de-raio-oar\/","title":{"rendered":"2) Os raios OB, OC e OD de tr\u00eas c\u00edrculos conc\u00eantricos a um c\u00edrculo de raio OA = R s\u00e3o respectivamente os ap\u00f3temas do hex\u00e1gono regular, do quadrado e do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero inscritos no c\u00edrculo de raio OA. Demonstrar que a soma das \u00e1reas das 3 coroas circulares \u00e9 equivalente \u00e0 soma das \u00e1reas dos tr\u00eas c\u00edrculos interiores ao c\u00edrculo de raio R."},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Esse exerc\u00edcio tem um enunciado muito complicado, mas voc\u00ea pode separ\u00e1-lo. Ele fala em tr\u00eas pol\u00edgonos (hex\u00e1gono, quadrado e tri\u00e2ngulo) inscritos numa mesma circunfer\u00eancia e uma circunfer\u00eancia inscrita em cada um deles. Ent\u00e3o, para facilitar a resolu\u00e7\u00e3o, voc\u00ea pode fazer os desenhos separados do mesmo c\u00edrculo de raio OA = R com cada um dos pol\u00edgonos inscritos e suas circunfer\u00eancias inscritas.<\/p>\n\n\n\n

Assim, fazendo o c\u00edrculo de raio R e inscrevendo um hex\u00e1gono, voc\u00ea deve saber que se voc\u00ea dividir esse hex\u00e1gono em 6 tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros todos eles ter\u00e3o o raio R como medida dos lados. Como o ap\u00f3tema do hex\u00e1gono \u00e9 a altura desse tri\u00e2ngulo, precisamos saber a altura de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero de lado R, que sabemos que \u00e9 dada pela f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

altura = R.raiz(3)\/2<\/p>\n\n\n\n

Assim, a \u00e1rea do c\u00edrculo inscrito ao hex\u00e1gono \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea circ_hex = pi.[R.raiz(3)\/2]2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea circ_hex = pi.R2<\/sup>.3\/4<\/p>\n\n\n\n

Como queremos a \u00e1rea das coroas circulares, temos que tirar essa \u00e1rea da \u00e1rea do c\u00edrculo de raio R, e teremos:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea I = pi.R2<\/sup> – pi.R2<\/sup>.3\/4<\/p>\n\n\n\n

Agora vamos ao quadrado inscrito. Ao inscrever um quadrado num c\u00edrculo de raio R, voc\u00ea sabe que a diagonal do quadrado mede duas vezes o raio do c\u00edrculo. Como a diagonal do quadrado \u00e9 igual ao lado vezes raiz(2), temos:<\/p>\n\n\n\n

l.raiz(2) = 2R<\/p>\n\n\n\n

l = 2R\/raiz(2), racionalizando,<\/p>\n\n\n\n

l = R.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

Dividindo o quadrado em quatro tri\u00e2ngulos iguais, o ap\u00f3tema do quadrado ser\u00e1 a altura de um desses tri\u00e2ngulos, que d\u00e1 exatamente a metade do lado do quadrado (se fizer a figura fica mais claro de entender). Ent\u00e3o o raio do c\u00edrculo inscrito ao quadrado ter\u00e1 metade da medida do lado:<\/p>\n\n\n\n

raio = R.raiz(2)\/2<\/p>\n\n\n\n

Assim, a \u00e1rea do c\u00edrculo inscrito ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea circ_quad = pi.[R.raiz(2)\/2]2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea circ_quad = pi.R2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

Como queremos a \u00e1rea das coroas circulares, temos que tirar essa \u00e1rea da \u00e1rea do c\u00edrculo de raio R, e teremos:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea II = pi.R2<\/sup> – pi.R2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

E por fim, se inscrevermos um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero \u00e0 uma circunfer\u00eancia de raio R, sabemos que o centro da circunfer\u00eancia \u00e9 o encontro das medianas do tri\u00e2ngulo tamb\u00e9m. Assim, voc\u00ea ver\u00e1 que o raio do c\u00edrculo inscrito ao tri\u00e2ngulo \u00e9 metade do raio do c\u00edrculo circunscrito ao tri\u00e2ngulo, pois o centro da circunfer\u00eancia circunscrita divide a mediana em duas partes proporcioanis a 1 e 2. Ent\u00e3o o raio da circunfer\u00eancia inscrita ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

= R\/2<\/p>\n\n\n\n

Assim, a \u00e1rea do c\u00edrculo inscrito ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea circ_tri = pi.[R\/2]2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea circ_tri = pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

Como queremos a \u00e1rea das coroas circulares, temos que tirar essa \u00e1rea da \u00e1rea do c\u00edrculo de raio R, e teremos:<\/p>\n\n\n\n

\u00e1rea III = pi.R2<\/sup> – pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

E o problema pede para provar que a soma dessas \u00e1reas \u00e9 igual \u00e0 \u00e1rea do c\u00edrculo interno. Ent\u00e3o vamos fazer a soma das \u00e1reas das coroas:<\/p>\n\n\n\n

= \u00e1rea I + \u00e1rea II + \u00e1rea III<\/p>\n\n\n\n

= pi.R2<\/sup> – pi.R2<\/sup>.3\/4 + pi.R2<\/sup> – pi.R2<\/sup>\/2 + pi.R2<\/sup> – pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

= 3pi.R2<\/sup> – pi.R2<\/sup>.3\/4 – pi.R2<\/sup>\/2 – pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

= 12.pi.R2<\/sup>\/4 – pi.R2<\/sup>.3\/4 – 2.pi.R2<\/sup>\/4 – pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

= 12.pi.R2<\/sup>\/4 – 6.pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

= 6.pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

= 3.pi.R2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

Essa \u00e9 a soma das \u00e1reas das coroas. Agora precisamos da soma das \u00e1reas dos tr\u00eas c\u00edrculos interiores ao c\u00edrculos de raio R. Pois voc\u00ea pode ver que temos 3 c\u00edrculos de raios:<\/p>\n\n\n\n

I) R.raiz(3)\/2, cuja \u00e1rea \u00e9 3.pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

II) R.raiz(2)\/2, cuja \u00e1rea \u00e9 pi.R2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

III) R\/2, cuja \u00e1rea \u00e9 pi.R2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

Somando as \u00e1reas dos 3 c\u00edrculos voc\u00ea tamb\u00e9m obt\u00e9m 3.pi.R2<\/sup>\/2 que era a soma das \u00e1reas das coroas circulares.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[16],"tags":[29],"class_list":["post-386","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-poligonos","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/386","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=386"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/386\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":387,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/386\/revisions\/387"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=386"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=386"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=386"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}