Primeiro vamos lembrar a f\u00f3rmula da medida do \u00e2ngulo interno de um pol\u00edgono regular:<\/p>\n\n\n\n
ai<\/sub> = (n – 2).180\/n<\/p>\n\n\n\n Como queremos que isso seja um n\u00famero inteiro, vamos mudar um pouco a cara disso para facilitar:<\/p>\n\n\n\n ai<\/sub> = (n – 2).180\/n<\/p>\n\n\n\n ai<\/sub> = (180n – 360)\/n<\/p>\n\n\n\n ai<\/sub> = 180n\/n – 360\/n<\/p>\n\n\n\n ai<\/sub> = 180 – 360\/n<\/p>\n\n\n\n Ent\u00e3o o valor do \u00e2ngulo interno \u00e9 sempre igual a 180\u00b0 – 360\u00b0\/n. Para isso ser um n\u00famero inteiro, como 180 \u00e9 um n\u00famero inteiro, temos que 360\u00b0\/n tem que ser um n\u00famero inteiro. E isso s\u00f3 acontece se n for um divisor de 360. Ent\u00e3o para sabermos quantos s\u00e3o os pol\u00edgonos que gozam dessa propriedade, temos que saber quantos s\u00e3o os divisores de 360.<\/p>\n\n\n\n Primeiro vamos fatorar 360:<\/p>\n\n\n\n 360 | 2<\/p>\n\n\n\n 180 | 2<\/p>\n\n\n\n 90 | 2<\/p>\n\n\n\n 45 | 3<\/p>\n\n\n\n 15 | 3<\/p>\n\n\n\n 5 | 5<\/p>\n\n\n\n 1 |<\/p>\n\n\n\n Conclu\u00edmos que 360 = 23<\/sup>.32<\/sup>.5<\/p>\n\n\n\n Para saber quantos s\u00e3o os divisores de 360 usaremos a regra que nos d\u00e1 esse n\u00famero. Se um n\u00famero N tem a seguinte decomposi\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n N = 2x<\/sup> . 3y<\/sup> . 5z<\/sup> . 7w<\/sup> . …<\/p>\n\n\n\n Quantos divisores este n\u00famero ter\u00e1? Os divisores do n\u00famero N ser\u00e3o todos os n\u00fameros que pudermos formar multiplicando os fatores primos que comp\u00f5em N. E cada um s\u00f3 pode aparecer no m\u00e1ximo o n\u00famero de vezes a que ele est\u00e1 elevado. No nosso exemplo, 2 pode estar elevado a 0, a 1, a 2, a 3, a…., a x. No m\u00e1ximo ele poder\u00e1 estar elevado a x, 3 s\u00f3 poder\u00e1 estar elevado a y, e assim sucessivamente. Ent\u00e3o os divisores deste n\u00famero ser\u00e3o todos os n\u00fameros que pudermos formar com esses fatores primos elevados a esses expoentes. No caso de N, para formarmos um divisores, pegaremos o 2 elevado a algum n\u00famero, multiplicaremos por 3 elevado a outro n\u00famero, multiplicaremos por 5 elevado a outro n\u00famero e assim at\u00e9 o \u00faltimo fator primo. Para sabermos escolhermos o expoente de 2 temos (x + 1) op\u00e7\u00f5es, pois o 2 pode estar elevado a 0, 1, 2, 3, …x. Para sabermos escolhermos o expoente de 3 temos (y + 1) op\u00e7\u00f5es, pois o 3 pode estar elevado a 0, 1, 2, 3, …y. Para sabermos escolhermos o expoente de 5 temos (z + 1) op\u00e7\u00f5es, pois o5 pode estar elevado a 0, 1, 2, 3, …z. Ent\u00e3o multiplicando todas estas possibilidades, teremos um total de divisores:<\/p>\n\n\n\n Divisores de N = (x + 1).(y + 1).(z + 1).(w + 1). …<\/p>\n\n\n\n Esta \u00e9 a regra para sabermos o n\u00famero de divisores de um n\u00famero. Fazemos o produto dos expoentes somados com 1.<\/p>\n\n\n\n No caso de 360, o n\u00famero de divisores ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n N = (3 + 1).(2 + 1).(1 + 1)<\/p>\n\n\n\n N = 4.3.2<\/p>\n\n\n\n N = 24 divisores<\/p>\n\n\n\n S\u00f3 tem um detalhe: nem todos os divisores de 360 nos d\u00e3o pol\u00edgonos regulares. Isso porque 1 e 2 s\u00e3o divisores de 360, mas n\u00e3o existem pol\u00edgonos com menos do que 3 lados. Ent\u00e3o, desses 24 divisores de 360, temos que tirar o 1 e o 2, o que nos d\u00e1 um total de…<\/p>\n\n\n\n Resposta: O n\u00famero de pol\u00edgonos n\u00e3o semelhantes que possuem essa propriedade \u00e9 de 22.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[16],"tags":[29],"class_list":["post-384","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-poligonos","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/384","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=384"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/384\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":385,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/384\/revisions\/385"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=384"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=384"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=384"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}