{"id":377,"date":"2020-03-28T13:35:27","date_gmt":"2020-03-28T16:35:27","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=377"},"modified":"2020-03-28T13:35:27","modified_gmt":"2020-03-28T16:35:27","slug":"seja-uma-matriz-real-quadrada-de-ordem-n-e-bi-a","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/seja-uma-matriz-real-quadrada-de-ordem-n-e-bi-a\/","title":{"rendered":"1) Seja uma matriz real quadrada de ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz identidade de ordem n. Supondo que A \u00e9 invers\u00edvel e idempotente (A\u00b2 = A) considere as afirma\u00e7\u00f5es:"},"content":{"rendered":"\n

I) B \u00e9 idempotente;
II) AB = BA;
III) B \u00e9 invers\u00edvel;
IV) A2\u00a0<\/sup>+ B2\u00a0<\/sup>= I;
V) AB \u00e9 sim\u00e9trica.<\/p>\n\n\n\n

a)\u00a0todas s\u00e3o verdadeiras
b)\u00a0apenas uma \u00e9\u00a0verdadeira
c)\u00a0duas s\u00e3o\u00a0verdadeiras
d)\u00a0tr\u00eas s\u00e3o\u00a0verdadeiras
e)\u00a0quatro s\u00e3o\u00a0verdadeiras<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

S\u00f3 sabemos que A tem inversa, que A2<\/sup> = A e que B = I – A. Al\u00e9m disso, a matriz identidade vezes outra matriz qualquer d\u00e1 sempre a outra matriz. Para dizer que algo \u00e9 falso, basta darmos um exemplo que prove o contr\u00e1rio. Ent\u00e3o vamos ver cada item:<\/p>\n\n\n\n

I) Temos que provar que B2<\/sup> = B. Ent\u00e3o vamos escrever B como nos foi dado:<\/p>\n\n\n\n

B2<\/sup> = B<\/p>\n\n\n\n

(I – A)2<\/sup> = I – A<\/p>\n\n\n\n

(I – A).(I – A) = I – A<\/p>\n\n\n\n

(I – A).I – (I – A).A = I – A<\/p>\n\n\n\n

(I – A) – (I.A – A2<\/sup>) = I – A<\/p>\n\n\n\n

(I – A) – (A – A) = I – A<\/p>\n\n\n\n

(I – A) – 0 = I – A<\/p>\n\n\n\n

I – A = I – A<\/p>\n\n\n\n

Esse item \u00e9 verdadeiro.<\/p>\n\n\n\n

Obs.: Onde escrevi “0” quis dizer que \u00e9 uma matriz quadrada da mesma dimens\u00e3o de A onde todos os elementos s\u00e3o iguais a zero. <\/p>\n\n\n\n

II) Vamos escrever B em fun\u00e7\u00e3o de A e fazer os produtos:<\/p>\n\n\n\n

AB = BA<\/p>\n\n\n\n

A.(I – A) = (I – A).A<\/p>\n\n\n\n

A.I – A2<\/sup> = I.A – A2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

A – A = A – A<\/p>\n\n\n\n

0 = 0<\/p>\n\n\n\n

Esse item tamb\u00e9m \u00e9 verdadeiro.<\/p>\n\n\n\n

III) Nesse caso, n\u00e3o temos uma coisa verdadeira. Para provar isso, podemos perceber que:<\/p>\n\n\n\n

B = I – A<\/p>\n\n\n\n

BA = (I-A)A<\/p>\n\n\n\n

BA = A – A2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

BA = A – A<\/p>\n\n\n\n

BA = 0<\/p>\n\n\n\n

E da\u00ed tiramos diretamente que:<\/p>\n\n\n\n

det(AB) = 0<\/p>\n\n\n\n

det(AB) = det(A).det(B) (teorema de binet) <\/p>\n\n\n\n

E voc\u00ea pode concluir diretamente que B n\u00e3o \u00e9 invers\u00edvel pois uma matriz s\u00f3 \u00e9 invers\u00edvel se e s\u00f3 se seu determinante \u00e9 diferente de zero. Nesse caso, como o det (A) \u00e9 diferente de zero, o determinante de B \u00e9 zero. Essa \u00e9 falsa.<\/p>\n\n\n\n

Agrade\u00e7o \u00e0 resolu\u00e7\u00e3o enviada por Matheus Costa Moulin, pois a minha estava errada.<\/p>\n\n\n\n

IV) Vamos escrever B em fun\u00e7\u00e3o de A novamente:<\/p>\n\n\n\n

A2<\/sup> + B2<\/sup> = I<\/p>\n\n\n\n

A2<\/sup> + (I – A)2<\/sup> = I<\/p>\n\n\n\n

A2<\/sup> + I2<\/sup> – 2.I.A + A2<\/sup> = I<\/p>\n\n\n\n

A + I – 2.A + A = I<\/p>\n\n\n\n

A – 2.A + A + I = I<\/p>\n\n\n\n

2.A – 2.A + I = I<\/p>\n\n\n\n

I = I<\/p>\n\n\n\n

Esse item tamb\u00e9m \u00e9 verdadeiro.<\/p>\n\n\n\n

V) AB \u00e9 sim\u00e9trica. J\u00e1 vimos no item II que AB \u00e9 sim\u00e9trica, pois se AB = 0 (matriz com todos os elementos iguais a zero) se voc\u00ea pegar a transposta desta ela ser\u00e1 igual \u00e0 matriz original.<\/p>\n\n\n\n

Esse item \u00e9 verdadeiro.<\/p>\n\n\n\n

Resposta: Alternativa e) 4 itens s\u00e3o verdadeiros.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

I) B \u00e9 idempotente; II) AB = BA; III) B \u00e9 invers\u00edvel; IV) A2\u00a0+ B2\u00a0= I; V) AB \u00e9 sim\u00e9trica. a)\u00a0todas s\u00e3o verdadeiras b)\u00a0apenas uma \u00e9\u00a0verdadeira c)\u00a0duas s\u00e3o\u00a0verdadeiras d)\u00a0tr\u00eas s\u00e3o\u00a0verdadeiras e)\u00a0quatro s\u00e3o\u00a0verdadeiras<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[15],"tags":[27],"class_list":["post-377","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matrizes","tag-medio"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/377","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=377"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/377\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":378,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/377\/revisions\/378"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=377"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=377"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=377"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}