{"id":365,"date":"2020-03-28T13:08:11","date_gmt":"2020-03-28T16:08:11","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=365"},"modified":"2020-03-28T13:08:11","modified_gmt":"2020-03-28T16:08:11","slug":"considere-uma-progressao-geometrica-que-o-primeiro-termo-e-a","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/considere-uma-progressao-geometrica-que-o-primeiro-termo-e-a\/","title":{"rendered":"1) Considere uma progress\u00e3o geom\u00e9trica, que o primeiro termo \u00e9 &#8220;a&#8221;, a > 1, a raz\u00e3o \u00e9 q, q > 1, e o produto dos seus termos \u00e9 c. Se:"},"content":{"rendered":"\n<p>log<sub>a<\/sub>b = 4, log<sub>q<\/sub>b = 2, log<sub>c<\/sub>b = 0,01<br>Quantos termos tem essa progress\u00e3o geom\u00e9trica?<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n<p>Temos o seguinte:<\/p>\n\n\n\n<p>I &#8211; primeiro termo = a<\/p>\n\n\n\n<p>II &#8211; raz\u00e3o = q &gt; 1<\/p>\n\n\n\n<p>III &#8211; produto dos termos = c<\/p>\n\n\n\n<p>IV &#8211; log<sub>a<\/sub>b = 4<\/p>\n\n\n\n<p>V &#8211; log<sub>q<\/sub>b = 2<\/p>\n\n\n\n<p>VI &#8211; log<sub>c<\/sub>b = 0,01<\/p>\n\n\n\n<p>Sabe-se que a f\u00f3rmula do produto Pn dos &#8220;n&#8221; primeiros termos de uma PG \u00e9:<\/p>\n\n\n\n<p>(Pn)\u00b2 = (A1 . An)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>onde A1 \u00e9 o 1\u00ba termo e An \u00e9 o en\u00e9simo termo.<\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o, de III temos:<\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = (A1 . An)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = (a . An)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>O termo geral da PG \u00e9 An = A1 . q<sup>n<\/sup>, que no nosso caso pode ser escrito:<\/p>\n\n\n\n<p>An = a.q<sup>n-1<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>E da\u00ed, substituindo An na f\u00f3rmula de c\u00b2:<\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = (a . An)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = (a . a . q<sup>n<\/sup>)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = (a\u00b2 . q<sup>n-1<\/sup>)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>Mas, de IV, temos que: a\u2074 = b<\/p>\n\n\n\n<p>De V, temos que: q\u00b2 = b<\/p>\n\n\n\n<p>O que nos leva a concluir que a\u2074 = q\u00b2 -&gt; a\u00b2 = q (lembre que q &gt; 1)<\/p>\n\n\n\n<p>Substituindo na f\u00f3rmula de c\u00b2:<\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = (a\u00b2 . q<sup>n-1<\/sup>)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = [a\u00b2 . (a\u00b2)<sup>n-1<\/sup>]<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 =&nbsp;(a\u00b2 . a<sup>2n-2<\/sup>)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 =&nbsp;(a<sup>2n-2+2<\/sup>)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = (a<sup>2n<\/sup>)<sup>n<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = a<sup>2n\u00b2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>E podemos achar c a partir de VI: c<sup>0,01<\/sup>&nbsp;= b<\/p>\n\n\n\n<p>E como j\u00e1 vimos que b = a\u2074:<\/p>\n\n\n\n<p>c<sup>0,01<\/sup>&nbsp;= a\u2074, elevando tudo a 100,<\/p>\n\n\n\n<p>c = a<sup>400<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>Substituindo na f\u00f3rmula de c\u00b2:<\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = a<sup>2n\u00b2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>(a<sup>400<\/sup>)\u00b2 = a<sup>2n\u00b2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>a<sup>800<\/sup>&nbsp;= a<sup>2n\u00b2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o, para isso ser verdadeiro, teremos que ter obrigatoriamente:<\/p>\n\n\n\n<p>800 = 2n\u00b2<\/p>\n\n\n\n<p>800 \/ 2 = n\u00b2<\/p>\n\n\n\n<p>400 = n\u00b2<\/p>\n\n\n\n<p>n = 20<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>logab = 4, logqb = 2, logcb = 0,01Quantos termos tem essa progress\u00e3o geom\u00e9trica?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[14],"tags":[29],"class_list":["post-365","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-logaritmo","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/365","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=365"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/365\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":366,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/365\/revisions\/366"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=365"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=365"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=365"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}