{"id":355,"date":"2020-03-27T22:59:36","date_gmt":"2020-03-28T01:59:36","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=355"},"modified":"2020-03-27T22:59:36","modified_gmt":"2020-03-28T01:59:36","slug":"um-cone-e-um-cilindro-circulares-retos-tem-uma-base-comum","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/um-cone-e-um-cilindro-circulares-retos-tem-uma-base-comum\/","title":{"rendered":"1) Um cone e um cilindro circulares retos t\u00eam uma base comum e o v\u00e9rtice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o \u00e2ngulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a raz\u00e3o entre a \u00e1rea total do cilindro sobre e a \u00e1rea total do cone \u00e9 7\/4."},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Sabemos que as \u00e1reas de um cilindro e de um cone de raio R na base e altura H \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

Cil = 2pi.R2<\/sup> + 2pi.RH<\/p>\n\n\n\n

Con = pi.R2<\/sup> + pi.Rg<\/p>\n\n\n\n

Como foi dado que a raz\u00e3o entre as \u00e1reas \u00e9 de 7\/4, temos:<\/p>\n\n\n\n

Cil\/Con = 7\/4<\/p>\n\n\n\n

(2pi.R2<\/sup> + 2pi.RH)\/(pi.R2<\/sup> + pi.Rg) = 7\/4<\/p>\n\n\n\n

(2R + 2H)\/(R + g) = 7\/4<\/p>\n\n\n\n

2.(R + H)\/(R + g) = 7\/4<\/p>\n\n\n\n

R = 7g – 8h<\/p>\n\n\n\n

Como queremos saber o \u00e2ngulo entre o eixo do cone (que \u00e9 a altura no centro da base superior do cilindro) e sua geratriz, podemos imaginar um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo formado pelo eixo do cone (cateto), o raio da circunfer\u00eancia da base (cateto) e a geratriz (hipotenusa). Assim, o \u00e2ngulo entre a geratriz e o eixo \u00e9 um \u00e2ngulo desse tri\u00e2ngulo. \u00c9 o \u00e2ngulo entre a hipotenusa (geratriz) e o cateto referente ao eixo do cone. Chamarei esse \u00e2ngulo de x. Nesse tri\u00e2ngulo, temos que:<\/p>\n\n\n\n

sen x = R\/g<\/p>\n\n\n\n

cos x = h\/g<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o se dividirmos nossa equa\u00e7\u00e3o toda por g teremos:<\/p>\n\n\n\n

R = 7g – 8h<\/p>\n\n\n\n

R\/g = 7 – 8h\/g<\/p>\n\n\n\n

sen x = 7 – 8cos x<\/p>\n\n\n\n

Elevando ao quadrado:<\/p>\n\n\n\n

sen2<\/sup> x = 49 – 112cos x + 64cos2<\/sup> x<\/p>\n\n\n\n

Substituindo sen2<\/sup> x = 1 – cos2<\/sup> x e simplificando:<\/p>\n\n\n\n

sen2<\/sup> x = 49 – 112cos x + 64cos2<\/sup> x<\/p>\n\n\n\n

65cos2<\/sup> x – 112 cos x + 48 = 0<\/p>\n\n\n\n

Voc\u00ea pode resolver essa equa\u00e7\u00e3o em cos x por B\u00e1skara, ou fatorar:<\/p>\n\n\n\n

(13cos x – 12).(5cos x – 4) = 0<\/p>\n\n\n\n

E assim:<\/p>\n\n\n\n

cos x = 12\/13<\/p>\n\n\n\n

ou<\/p>\n\n\n\n

cos x = 4\/5<\/p>\n\n\n\n

Como elevamos a equa\u00e7\u00e3o ao quadrado, precisamos conferir as respostas porque pode ter aparecido coisas que n\u00e3o valem. Como cos x = 12\/13, use a f\u00f3rmula de Pit\u00e1goras para achar R e ter\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

g = 13<\/p>\n\n\n\n

H = 12<\/p>\n\n\n\n

R = 5<\/p>\n\n\n\n

Se voc\u00ea olhar em:<\/p>\n\n\n\n

2.(R + H)\/(R + g) = 7\/4<\/p>\n\n\n\n

(5 + 12)\/(5 + 13) = 7\/8<\/p>\n\n\n\n

17\/18 = 7\/8<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o essa resposta n\u00e3o vale. Se fizer o mesmo com a outra resposta, cos x = 4\/5, ter\u00e1 que:<\/p>\n\n\n\n

g = 5<\/p>\n\n\n\n

H = 4<\/p>\n\n\n\n

R = 3<\/p>\n\n\n\n

E ser\u00e1 satisfeita a equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

2.(R + H)\/(R + g) = 7\/4<\/p>\n\n\n\n

(3 + 4)\/(3 + 5) = 7\/8<\/p>\n\n\n\n

7\/8 = 7\/8<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o o cosseno do \u00e2ngulo procurado vale 4\/5. Como o problema pediu o \u00e2ngulo voc\u00ea pode escrever que:<\/p>\n\n\n\n

x = arccos 4\/5<\/p>\n\n\n\n

Se voc\u00ea tiver uma tabela ou uma calculadora que calcule isso ver\u00e1 que x \u00e9 aproximadamente 36,77\u00b0.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[13],"tags":[29],"class_list":["post-355","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria-espacial","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/355","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=355"}],"version-history":[{"count":2,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/355\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":712,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/355\/revisions\/712"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=355"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=355"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=355"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}