{"id":349,"date":"2020-03-27T22:55:24","date_gmt":"2020-03-28T01:55:24","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=349"},"modified":"2020-03-27T22:55:24","modified_gmt":"2020-03-28T01:55:24","slug":"considerem-se-cinco-esferas-com-10-cm-de-raio","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/considerem-se-cinco-esferas-com-10-cm-de-raio\/","title":{"rendered":"1) Considerem-se cinco esferas com 10 cm de raio. Disp\u00f5em-se quatro destas esferas sobre uma mesa horizontal de forma que os seus centros formem um quadrado com 20 cm de lado e coloca-se sobre elas a quinta esfera de modo que toque as outras quatro. Qual \u00e9 a dist\u00e2ncia entre o centro desta quinta esfera e a mesa?"},"content":{"rendered":"\n<!--more-->\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n<p>Abaixo est\u00e1 um desenho que tentei fazer para representar o problema.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"337\" height=\"174\" src=\"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/5esefras.jpg\" alt=\"cinco esferas\" class=\"wp-image-350\" srcset=\"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/5esefras.jpg 337w, http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/5esefras-300x155.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 337px) 100vw, 337px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>\u00c9 um pouco complicado de desenhar porque \u00e9 uma coisa tridimensional, mas acho que d\u00e1 pra tentar entender. Temos quatro esferas sobre a mesa, formando um quadrado com seus centros, que seria a base da pir\u00e2mide que tracei em vermelho no desenho. Como o lado do quadrado mede 20 cm e os raios das esferas medem 10 cm, as 4 esferas devem estar se tangenciando. Colocando a quinta esfera, que no desenho fiz de azul, sobre as outras 4, esta tamb\u00e9m ira tangenci\u00e1-las, de modo que voc\u00ea pode imaginar o centro dessa quinta esfera como o v\u00e9rtice de uma pir\u00e2mide de base quadrada (tra\u00e7ado vermelho do desenho). Todas as arestas da pir\u00e2mide ter\u00e3o 20 cm, porque s\u00e3o as dist\u00e2ncias entre os centros de duas esferas sempre.<\/p>\n\n\n\n<p>Agora queremos saber a dist\u00e2ncia do centro da quinta esfera \u00e0 mesa. Para isso devemos calcular a altura da pir\u00e2mide e depois somar 10cm que \u00e9 a dist\u00e2ncia da base quadrada da pir\u00e2mide \u00e0 mesa, j\u00e1 que essa base est\u00e1 na altura dos centros das 4 esferas cujos raios s\u00e3o iguais a 10cm.<\/p>\n\n\n\n<p>Para calcularmos a altura da pir\u00e2mide, veja o segundo desenho na mesma figura que enviei anexada. Ao tra\u00e7armos a altura da pir\u00e2mide, tra\u00e7amos um segmento do v\u00e9rtice at\u00e9 o centro do quadrado da base. Assim, formamos um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com uma aresta lateral, a altura e metade da diagonal do quadrado da base. Ent\u00e3o podemos usar o teorema de Pit\u00e1goras para encontrar a altura, se soubermos a metade da diagonal do quadrado.<\/p>\n\n\n\n<p>Se o quadrado da base tem lado 20cm, sabemos que a diagonal de um quadrado \u00e9 a medida do lado vezes a raiz de 2. Como queremos a metade disso:<\/p>\n\n\n\n<p>d\/2 = 20.raiz(2)\/2<\/p>\n\n\n\n<p>d\/2 = 10.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n<p>E agora podemos encontrar a altura da pir\u00e2mide usando Pit\u00e1goras:<\/p>\n\n\n\n<p>h<sup>2<\/sup>&nbsp;+ (d\/2)<sup>2<\/sup>&nbsp;= 20<sup>2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>h<sup>2<\/sup>&nbsp;= 20<sup>2<\/sup>&nbsp;&#8211; (d\/2)<sup>2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>h<sup>2<\/sup>&nbsp;= 20<sup>2<\/sup>&nbsp;&#8211; [10.raiz(2)]<sup>2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>h<sup>2<\/sup>&nbsp;= 400 &#8211; 200<\/p>\n\n\n\n<p>h<sup>2<\/sup>&nbsp;= 200<\/p>\n\n\n\n<p>h = 10.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n<p>Portanto a dist\u00e2ncia entre o centro da esfera e a mesa \u00e9 essa altura da pir\u00e2mide mais um raio das esferas que est\u00e3o sobre a mesa:<\/p>\n\n\n\n<p>dist\u00e2ncia = h + r<\/p>\n\n\n\n<p>dist\u00e2ncia = 10.raiz(2) + 10<\/p>\n\n\n\n<p>dist\u00e2ncia = 10.[raiz(2) + 1]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[13],"tags":[27],"class_list":["post-349","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria-espacial","tag-medio"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/349","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=349"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/349\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":351,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/349\/revisions\/351"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=349"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=349"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=349"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}