![\"\"](\"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/areaquadrinotri.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nComo essa figura \u00e9 sim\u00e9trica, ao tra\u00e7armos BD, esse segmento passar\u00e1 pelo ponto F, e ainda dividir\u00e1 o quadril\u00e1tero cuja \u00e1rea estamos procurando em dois tri\u00e2ngulos congruentes. Ent\u00e3o se acharmos a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo BEF, por exemplo, j\u00e1 teremos a \u00e1rea do quadril\u00e1tero procurada, que ser\u00e1 o dobro da \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo.
<\/p>\n\n\n\n
A reta BD \u00e9 a reta y = x e a reta AM \u00e9 a reta y = -2x + a. E como F \u00e9 o ponto de intersec\u00e7\u00e3o dessas duas retas: _____________________________________________________________<\/p>\n\n\n\n 2\u00aa Resolu\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n Outra solu\u00e7\u00e3o semelhante, usando os pontos m\u00e9dios dos lados AB e BC. Coloque o v\u00e9rtice D no ponto zero dos eixos cartesianos, com os v\u00e9rtices A e C sobre os eixos y e x respectivamente. Chamemos de “L” o lado do quadrado, o que faz com que as coordenadas dos v\u00e9rtices sejam: Nela voc\u00ea pode ver os pontos m\u00e9dios E e F com suas coordenadas (L\/2, L) e (L, L\/2) respectivamente. Como essa figura \u00e9 sim\u00e9trica, ao tra\u00e7armos BD, esse segmento passar\u00e1 pelo ponto G, e ainda dividir\u00e1 o quadril\u00e1tero cuja \u00e1rea estamos procurando em dois tri\u00e2ngulos congruentes. Ent\u00e3o se acharmos a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo DGH, por exemplo, j\u00e1 teremos a \u00e1rea do quadril\u00e1tero procurada, que ser\u00e1 o dobro da \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo. A reta BD \u00e9 a reta y = x (\u00e9 a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (L, L)) e a reta AF \u00e9 a reta y = -x\/2 + L (passa pelos pontos (0, L) e (L, L\/2)). E como G \u00e9 o ponto de intersec\u00e7\u00e3o dessas duas retas, temos que igualar o valor de y das duas equa\u00e7\u00f5es:
x = -2x + a
3x = a
x = a\/3
Ent\u00e3o as coordenadas de F s\u00e3o (a\/3, a\/3). Agora podemos acahr as coordenadas do ponto E com a intersec\u00e7\u00e3o das retas BN e AM, cujas equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o respectivamente:
y = x\/2 + a\/2
y = -2x + a
E podemos achar as coordenadas do ponto E:
x\/2 + a\/2 = -2x + a
x + a = -4x + 2a
5x = a
x = a\/5
y = -2x + a
y = -2.a\/5 + a
y = -2a\/5 + 5a\/5
y = 3a\/5
Assim, as coordenadas do ponto E s\u00e3o (a\/5, 3a\/5). E existe uma f\u00f3rmula que nos d\u00e1 a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo se soubermos as coordenadas de seus v\u00e9rtices. Sejam os v\u00e9rtices do tri\u00e2ngulo ABC os pontos A = (xA,yA), B = (xB,yB) e C = (xC,yC). Sua \u00e1rea \u00e9 igual a:
= (1\/2). |xA yA 1|
|xB yB 1|
|xC yC 1|
\u00c9 igual a metade do m\u00f3dulo desse determinante. Ent\u00e2o, como j\u00e1 temos as coordenadas dos pontos B, E e F, podemos descobrir a \u00e1rea do triangulo BEF usando essa f\u00f3rmula.
= (1\/2). |xB yB 1|
|xE yE 1|
|xF yF 1|
= (1\/2). | a a 1|
|a\/5 3a\/5 1|
|a\/3 a\/3 1|
= (1\/2).[3a2<\/sup>\/5 + a2<\/sup>\/3 + a2<\/sup>\/15 – 3a2<\/sup>\/15 – a2<\/sup>\/3 – a2<\/sup>\/5]
= (1\/2).[3a2<\/sup>\/5 + a2<\/sup>\/15 – 3a2<\/sup>\/15 – a2<\/sup>\/5]
= (1\/2).[2a2<\/sup>\/5 – 2a2<\/sup>\/15]
= (1\/2).[6a2<\/sup>\/15 – 2a2<\/sup>\/15]
= (1\/2).(4a2<\/sup>\/15)
= 2a2<\/sup>\/15
E como a \u00e1rea do quadrado era a2<\/sup> que o problema chamou de S, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo BEF \u00e9 igual a 2S\/15.
Como j\u00e1 vimos que o tri\u00e2ngulo BGF (por simetria) tem a mesma \u00e1rea que o tri\u00e2ngulo BEF, a \u00e1rea do quadril\u00e1tero BEFG \u00e9:
BEFG = BEF + BFG
BEFG = BEF + BEF
BEFG = 2.BEF
BEFG = 2.2S\/15
BEFG = 4S\/15<\/p>\n\n\n\n
A(0, L), B(L, L), C(L, 0), D(0, 0)
Veja a figura:<\/p>\n\n\n\n![\"\u00e1rea](\"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/areaquadrinotri2.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
x = -x\/2 + L
3x\/2 = L
x = 2L\/3
Ent\u00e3o as coordenadas de G s\u00e3o (2L\/3, 2L\/3).
Agora podemos achar as coordenadas do ponto H com a intersec\u00e7\u00e3o das retas AF e DE, cujas equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o respectivamente:
y = -x\/2 + L
y = 2x
E podemos achar as coordenadas do ponto H se igualarmos os valores de y das duas equa\u00e7\u00f5es:
-x\/2 + L = 2x
L = 2x + x\/2
5x\/2 = L
x = 2L\/5
Achamos a abcissa de H, agora achamos a ordenada:
y = 2x
y = 2.2L\/5
y = 4L\/5
Assim, as coordenadas do ponto H s\u00e3o (2L\/5, 4L\/5).
Agora vemos que se chamarmos a \u00e1rea que queremos de A, podemos escrever que:
A\/2 = ABD – AGB – AHD
Onde ABD, AGB e AHD s\u00e3o as \u00e1reas desses 3 tri\u00e2ngulos. A \u00e1rea de ABD \u00e9 metade da \u00e1rea do quadrado ABCD que tem lado L e portanto \u00e1rea igual a L2<\/sup>.
Para acharmos a \u00e1rea de AGB, chamaremos de base do tri\u00e2ngulo o lado AB, que tem medida L. Assim a altura do tri\u00e2ngulo ser\u00e1 a dist\u00e2ncia de AB at\u00e9 G. Como a dist\u00e2ncia de G at\u00e9 o lado CD, que \u00e9 o eixo x, \u00e9 de 2L\/3 pois este \u00e9 o valor da sua coordenada y, a dist\u00e2ncia de G at\u00e9 o lado AB ser\u00e1 1\/3 porque a soma dessas duas dist\u00e2ncias tem que dar o tamanho da altura do quadrado, que \u00e9 L. Agora achamos a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo de base L e altura L\/3:
AGB = L.(L\/3)\/2
AGB = L2<\/sup>\/6
Para o tri\u00e2ngulo AHD, chamaremos de base o lado AD que tem medida L e nesse caso a altura do tri\u00e2ngulo ser\u00e1 a dist\u00e2ncia de H at\u00e9 o lado AD, que \u00e9 o eixo y, e assim ser\u00e1 exatamente o valor da coordenada x do ponto H, que \u00e9 2L\/5. Agora acharemos a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo de base L e altura 2L\/5:
AHD = L.(2L\/5)\/2
AHD = L2<\/sup>\/5
E agora vamos achar o valor de A que \u00e9 metade da \u00e1rea que temos ao tirar as \u00e1reas de AGB e AHD da \u00e1rea ABD:
A\/2 = ABD – AGB – AHD
A\/2 = L2<\/sup>\/2 – L2<\/sup>\/6 – L2<\/sup>\/5
A\/2 = (15L2<\/sup> – 5L2<\/sup> – 6L2<\/sup>)\/30
A\/2 = 4L2<\/sup>\/30
A\/2 = 2L2<\/sup>\/15
A = 4L2<\/sup>\/15
Mas o problema pediu a \u00e1rea em fun\u00e7\u00e3o da \u00e1rea S do quadrado. Assim, como sabemos que S = L2<\/sup>, podemos escrever que:
A = 4S\/15<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[12],"tags":[29],"class_list":["post-336","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria-analitica","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/336","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=336"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/336\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":339,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/336\/revisions\/339"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=336"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=336"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=336"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}