Se as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o s\u00e3o de sinais contr\u00e1rios, o produto delas ser\u00e1 negativo. E sabemos que o produto das ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau do tipo ax\u00b2 + bx + c = 0 \u00e9 c\/a. Fazendo isso:<\/p>\n\n\n\n
(-q + 1)\/(q – 3) < 0<\/p>\n\n\n\n
Agora para vermos quando esse quociente \u00e9 menor que zero, temos que analisar os sinais do numerador e do denominador.<\/p>\n\n\n\n
-q + 1 -> ++++++(1)—————–<\/p>\n\n\n\n
q – 3 -> ——————-(3)++++++<\/p>\n\n\n\n
E agora dividindo os sinais:<\/p>\n\n\n\n
(-q + 1)\/(q – 3) -> ——–(1)++++(3)——-<\/p>\n\n\n\n
E temos dois intervalos poss\u00edveis para q:<\/p>\n\n\n\n
q < 1 ou q > 3<\/p>\n\n\n\n
A outra informa\u00e7\u00e3o que o problema deu foi que a raiz de maior m\u00f3dulo \u00e9 negativa, ent\u00e3o a soma das ra\u00edzes ser\u00e1 negativa. Sabemos que a soma das ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau \u00e9 -b\/a, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
-(q – 2)\/(q – 3) < 0<\/p>\n\n\n\n
(2 – q)\/(q – 3) < 0<\/p>\n\n\n\n
Analisando os sinais de cada termo dessa fra\u00e7\u00e3o teremos:<\/p>\n\n\n\n
2 – q -> +++++(2)————–<\/p>\n\n\n\n
q – 3 -> ————–(3)+++++<\/p>\n\n\n\n
E fazendo o quociente:<\/p>\n\n\n\n
(2 – q)\/(q – 3) -> ——(2)+++(3)——<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o temos uma soma negativa das ra\u00edzes se:<\/p>\n\n\n\n
q < 2 ou q > 3<\/p>\n\n\n\n
Al\u00e9m disso, o problema diz que as ra\u00edzes t\u00eam que ser reais e distintas. Ent\u00e3o o determinante tem que ser maior que zero. Ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
b\u00b2 – 4ac > 0<\/p>\n\n\n\n
(q – 2)\u00b2 – 4.(q – 3).(-q + 1) > 0<\/p>\n\n\n\n
q\u00b2 – 4q + 4 – 4.(-q\u00b2 + q + 3q – 3) > 0<\/p>\n\n\n\n
q\u00b2 – 4q + 4 + 4q\u00b2 – 4q – 12q + 12 > 0<\/p>\n\n\n\n
5q\u00b2 – 20q + 16 > 0<\/p>\n\n\n\n
Resolvendo essa inequa\u00e7\u00e3o, encontramos as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o 5q\u00b2 – 20q + 16 = 0, que s\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
q1 = [10 – 2raiz(5)]\/5<\/p>\n\n\n\n
q2 = [10 + 2raiz(5)]\/5<\/p>\n\n\n\n
Como a fun\u00e7\u00e3o do segundo grau 5q\u00b2 – 20q + 16 tem o coeficiente de x\u00b2 maior que zero, seu gr\u00e1fico \u00e9 uma par\u00e1bola com concavidade para cima, ent\u00e3o teremos ra\u00edzes reais quando:<\/p>\n\n\n\n
q< [10 – 2raiz(5)]\/5 ou q > [10 + 2raiz(5)]\/5<\/p>\n\n\n\n
Como a raiz de 5 \u00e9 um n\u00famero entre 2 e 2,5, temos que q1 \u00e9 um n\u00famero positivo e q2 \u00e9 um n\u00famero menor do que 3.<\/p>\n\n\n\n
Agora juntando todas as informa\u00e7\u00f5es sobre “q” que temos:<\/p>\n\n\n\n
q < 1 ou q > 3<\/p>\n\n\n\n
q < 2 ou q > 3 <\/p>\n\n\n\n
q< [10 – 2raiz(5)]\/5 ou q > [10 + 2raiz(5)]\/5 <\/p>\n\n\n\n
Qual o intervalo que satisfaz todas essas exig\u00eancias? Vou colocar um asterisco onde temos uma resposta v\u00e1lida para cada intervalo, onde n\u00e3o tem ficar\u00e1 uma linha e faremos a intersec\u00e7\u00e3o de todos. Al\u00e9m disso, para facilitar, vou colocar q1 e q2 como sendo as ra\u00edzes da \u00faltima equa\u00e7\u00e3o que encontramos (q1 = [10 – 2raiz(5)]\/5, q2 = [10 + 2raiz(5)]\/5):<\/p>\n\n\n\n
***(1)__________(3)*******<\/p>\n\n\n\n
*******(2)______(3)*******<\/p>\n\n\n\n
****(q1)_____(q2)*******<\/p>\n\n\n\n
Juntando tudo, vemos que temos asteriscos nos seguintes intervalos:<\/p>\n\n\n\n
***(1)__________(3)*****<\/p>\n\n\n\n
q < 1 ou q > 3<\/p>\n\n\n\n
Resposta: S = {q pertence aos reais | q < 1 ou q > 3}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[30],"class_list":["post-319","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-funcoes","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/319","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=319"}],"version-history":[{"count":2,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/319\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":321,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/319\/revisions\/321"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=319"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=319"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=319"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}