Esta quest\u00e3o caiu na Fuvest (11\u00aa quest\u00e3o de matem\u00e1tica no ano de 1996). Ela \u00e9 bem te\u00f3rica, por isso \u00e9 considerada mais dif\u00edcil, mas vou tentar ser o mais claro poss\u00edvel.<\/p>\n\n\n\n
Primeiro foi dito: “Seja p(x) um polin\u00f4mio divis\u00edvel por x-3.” Se um polin\u00f4mio \u00e9 divis\u00edvel por (x – 3), ele pode ser escrito da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n
p(x) = p\u00b4(x).(x – 3), onde p\u00b4(x) \u00e9 o quociente da divis\u00e3o de p(x) por (x – 3)<\/p>\n\n\n\n
ou ainda, fazendo a distributiva,<\/p>\n\n\n\n
p(x) = p\u00b4(x).(x – 3) = x.p\u00b4(x) – 3.p\u00b4(x)<\/p>\n\n\n\n
Depois foi dito: “Dividindo p(x) por x-1, obtemos quociente q(x) e resto r = 10”. Que pode ser escrito da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n
p(x) = q(x).(x – 1) + 10<\/p>\n\n\n\n
ou ainda,<\/p>\n\n\n\n
p(x) – 10 = q(x).(x – 1)<\/p>\n\n\n\n
O que significa que se tirarmos 10 de p(x), e dividirmos por (x – 1), teremos quociente q(x) e resto igual a zero. Ent\u00e3o vamos pegar p(x), em fun\u00e7\u00e3o de p\u00b4(x), tirar 10 e divid\u00ed-lo por (x – 1), e o quociente dessa divis\u00e3o ser\u00e1 q(x) e o resto zero:<\/p>\n\n\n\n
x.p\u00b4(x) – 3.p\u00b4(x) – 10 | x – 1<\/p>\n\n\n\n
———-<\/p>\n\n\n\n
Dividindo x.p\u00b4(x) por x, temos no quociente p\u00b4(x):<\/p>\n\n\n\n
x.p\u00b4(x) – 3.p\u00b4(x) – 10 | x – 1<\/p>\n\n\n\n
-x.p\u00b4(x) + p\u00b4(x) ———<\/p>\n\n\n\n
—————- p\u00b4(x)<\/p>\n\n\n\n
0 -2.p\u00b4(x) – 10<\/p>\n\n\n\n
Como o resto tem que ser zero:<\/p>\n\n\n\n
– 2.p\u00b4(x) – 10 = 0<\/p>\n\n\n\n
– 2.p\u00b4(x) = 10<\/p>\n\n\n\n
p\u00b4(x) = 10 \/ (-2)<\/p>\n\n\n\n
p\u00b4(x) = – 5<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o p\u00b4(x) tem que ser -5. Se p\u00b4(x) \u00e9 -5, e o quociente dessa divis\u00e3o era q(x), conclu\u00edmos que q(x) tamb\u00e9m tem que ser -5. E a pergunta era o resto da divis\u00e3o de q(x) por x – 3. Fazendo a divis\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
q(x) | x – 3<\/p>\n\n\n\n
——-<\/p>\n\n\n\n
ou seja,<\/p>\n\n\n\n
-5 | x – 3<\/p>\n\n\n\n
0 ——<\/p>\n\n\n\n
— 0<\/p>\n\n\n\n
-5<\/p>\n\n\n\n
O quociente d\u00e1 zero e sobra -5!<\/p>\n\n\n\n
(Se voc\u00ea quiser, ache p(x), p\u00b4(x) e fa\u00e7a as contas que ver\u00e1 esse resultado tamb\u00e9m.<\/p>\n\n\n\n
p(x) = p\u00b4(x).(x – 3), como p\u00b4(x) = -5<\/p>\n\n\n\n
p(x) = -5x + 15<\/p>\n\n\n\n
Dividindo p(x) por x – 1, temos resto 10 e q(x) \u00e9 -5)<\/p>\n\n\n\n
Resposta: O resto da divis\u00e3o de q(x) por (x – 3) \u00e9 -5.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[29],"class_list":["post-315","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-funcoes","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/315","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=315"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/315\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":316,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/315\/revisions\/316"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=315"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=315"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=315"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}