Para resolver essa quest\u00e3o voc\u00ea deve analisar o sinal do numerador e do denominador e depois juntar as duas an\u00e1lises. Vamos fazer ent\u00e3o um de cada vez, come\u00e7ando pelo numerador:<\/p>\n\n\n\n
x\u2074 + 12x\u00b3 + 6x\u00b2 – 148x – 15<\/p>\n\n\n\n
Sabemos que as ra\u00edzes racionais ser\u00e3o divisores de 15. Ent\u00e3o se voc\u00ea testar x = 3, ver\u00e1 que ele \u00e9 raiz:<\/p>\n\n\n\n
= x\u2074 + 12x\u00b3 + 6x\u00b2 – 148x – 15<\/p>\n\n\n\n
= 3\u2074 + 12.3\u00b3 + 6.3\u00b2 – 148.3 – 15<\/p>\n\n\n\n
= 81 + 12.27 + 6.9 – 444 – 15<\/p>\n\n\n\n
= 81 + 324 + 54 – 444 – 15<\/p>\n\n\n\n
= 0<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o podemos fatorar o numerador, dividindo-o por x – 3:<\/p>\n\n\n\n
x\u2074 + 12x\u00b3 + 6x\u00b2 – 148x – 15 | x – 3<\/p>\n\n\n\n
-x\u2074 + 3x\u00b3 ———<\/p>\n\n\n\n
———- x\u00b3 + 15x\u00b2 + 51x + 5<\/p>\n\n\n\n
15x\u00b3 + 6x\u00b2<\/p>\n\n\n\n
-15x\u00b3 + 45x\u00b2<\/p>\n\n\n\n
————<\/p>\n\n\n\n
51x\u00b2 – 148x<\/p>\n\n\n\n
-51x\u00b2 + 153x<\/p>\n\n\n\n
————<\/p>\n\n\n\n
5x – 15<\/p>\n\n\n\n
-5x + 15<\/p>\n\n\n\n
——–<\/p>\n\n\n\n
0<\/p>\n\n\n\n
E ficamos com:<\/p>\n\n\n\n
= x\u2074 + 12x\u00b3 + 6x\u00b2 – 148x – 15<\/p>\n\n\n\n
= (x – 3).(x\u00b3 + 15x\u00b2 + 51x + 5)<\/p>\n\n\n\n
Mas o segunto fator, x\u00b3 + 15x\u00b2 + 51x + 5, tamb\u00e9m pode ser simplificado, pois como os divisores de 5 podem ser ra\u00edzes, se voc\u00ea fizer x = -5:<\/p>\n\n\n\n
= x\u00b3 + 15x\u00b2 + 51x + 5<\/p>\n\n\n\n
= (-5)\u00b3 + 15.(-5)\u00b2 + 51(-5) + 5<\/p>\n\n\n\n
= -125 + 15.25 – 255 + 5<\/p>\n\n\n\n
= -125 + 375 – 255 + 5<\/p>\n\n\n\n
= 0<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o podemos divid\u00ed-lo por x + 5:<\/p>\n\n\n\n
x\u00b3 + 15x\u00b2 + 51x + 5 | x + 5<\/p>\n\n\n\n
-x\u00b3 – 5x\u00b2 ——-<\/p>\n\n\n\n
——— x\u00b2 + 10x + 1<\/p>\n\n\n\n
10x\u00b2 + 51x<\/p>\n\n\n\n
-10x\u00b2 – 50x<\/p>\n\n\n\n
———–<\/p>\n\n\n\n
x + 5<\/p>\n\n\n\n
-x – 5<\/p>\n\n\n\n
——<\/p>\n\n\n\n
0<\/p>\n\n\n\n
E agora o quociente n\u00e3o tem ra\u00edzes reais. Vamos resolver essa equa\u00e7\u00e3o para ver as ra\u00edzes:<\/p>\n\n\n\n
x\u00b2 + 10x + 1 = 0<\/p>\n\n\n\n
Pela f\u00f3rmula de B\u00e1skara encontramos que:<\/p>\n\n\n\n
x = -5 +- 2.raiz(6)<\/p>\n\n\n\n
Ficamos ent\u00e3o com:<\/p>\n\n\n\n
x\u2074 + 12x\u00b3 + 6x\u00b2 – 148x – 15<\/p>\n\n\n\n
= (x – 3).(x + 5).(x\u00b2 + 10x + 1)<\/p>\n\n\n\n
E as ra\u00edzes s\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
x = -5 – 2.raiz(6), -5, -5 + 2.raiz(6), 3<\/p>\n\n\n\n
Como temos um polin\u00f4mio de quarto grau, para valores de x negativos bem pequenos (indo para menos infinito), a fun\u00e7\u00e3o tem valores positivos. Da\u00ed a cada raiz o sinal da fun\u00e7\u00e3o troca. O esquema ficaria assim:<\/p>\n\n\n\n
+++[-5-2.raiz(6)]—[-5]+++[-5+2.raiz(6)]—[3]+++<\/p>\n\n\n\n
As ra\u00edzes est\u00e3o entre colchetes e os sinais entre elas s\u00e3o os sinais da fun\u00e7\u00e3o. Veja que -5 – 2.raiz(6) \u00e9 aproximadamente -9,9 e -5 + 2.raiz(6) \u00e9 aproximadamente -0,1.<\/p>\n\n\n\n
Agora vamos ao denominador:<\/p>\n\n\n\n
x\u2075 – x\u2074 – 8x\u00b3 + 12x\u00b2 – x – 3<\/p>\n\n\n\n
Como as ra\u00edzes racionais desse polin\u00f4mio podem ser os divisores de 3, se fizermos x = 1 veremos que ele \u00e9 raiz:<\/p>\n\n\n\n
= x\u2075 – x\u2074 – 8x\u00b3 + 12x\u00b2 – x – 3<\/p>\n\n\n\n
= 1\u2075 – 1\u2074 – 8.1\u00b3 + 12.1\u00b2 – 1 – 3<\/p>\n\n\n\n
= 1 – 1 – 8 + 12 – 1 – 3<\/p>\n\n\n\n
= 0<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o podemos divid\u00ed-lo por x – 1:<\/p>\n\n\n\n
x\u2075 – x\u2074 – 8x\u00b3 + 12x\u00b2 – x – 3 | x – 1<\/p>\n\n\n\n
-x\u2075 + x\u2074 ———<\/p>\n\n\n\n
———- x\u2074 – 8x\u00b2 + 4x + 3<\/p>\n\n\n\n
0 -8x\u00b3 + 12x\u00b2<\/p>\n\n\n\n
8x\u00b3 – 8x\u00b2<\/p>\n\n\n\n
———–<\/p>\n\n\n\n
4x\u00b2 – x<\/p>\n\n\n\n
-4x\u00b2 + 4x<\/p>\n\n\n\n
———<\/p>\n\n\n\n
3x – 3<\/p>\n\n\n\n
-3x + 3<\/p>\n\n\n\n
——-<\/p>\n\n\n\n
0<\/p>\n\n\n\n
E ficamos com:<\/p>\n\n\n\n
= x\u2075 – x\u2074 – 8x\u00b3 + 12x\u00b2 – x – 3<\/p>\n\n\n\n
= (x – 1).(x\u2074 – 8x\u00b2 + 4x + 3)<\/p>\n\n\n\n
Mas o quociente ainda admite 1 como raiz:<\/p>\n\n\n\n
= x\u2074 – 8x\u00b2 + 4x + 3<\/p>\n\n\n\n
= 1\u2074 – 8.1\u00b2 + 4.1 + 3<\/p>\n\n\n\n
= 1 – 8 + 4 + 3<\/p>\n\n\n\n
= 0<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o fazendo a divis\u00e3o para simplificar:<\/p>\n\n\n\n
x\u2074 – 8x\u00b2 + 4x + 3 | x – 1<\/p>\n\n\n\n
-x\u2074 + x\u00b3 ———<\/p>\n\n\n\n
———- x\u00b3 + x\u00b2 – 7x – 3<\/p>\n\n\n\n
x\u00b3 – 8x\u00b2<\/p>\n\n\n\n
-x\u00b3 + x\u00b2<\/p>\n\n\n\n
———<\/p>\n\n\n\n
-7x\u00b2 + 4x<\/p>\n\n\n\n
7x\u00b2 – 7x<\/p>\n\n\n\n
———<\/p>\n\n\n\n
-3x + 3<\/p>\n\n\n\n
3x – 3<\/p>\n\n\n\n
——-<\/p>\n\n\n\n
0<\/p>\n\n\n\n
E ficamos com:<\/p>\n\n\n\n
= x\u2075 – x\u2074 – 8x\u00b3 + 12x\u00b2 – x – 3<\/p>\n\n\n\n
= (x – 1).(x – 1).(x\u00b3 + x\u00b2 – 7x – 3)<\/p>\n\n\n\n
= (x – 1)\u00b2.(x\u00b3 + x\u00b2 – 7x – 3)<\/p>\n\n\n\n
Mas o quociente ainda admite -3 como raiz:<\/p>\n\n\n\n
= x\u00b3 + x\u00b2 – 7x – 3<\/p>\n\n\n\n
= (-3)\u00b3 + (-3)\u00b2 – 7.(-3) – 3<\/p>\n\n\n\n
= -27 + 9 + 21 – 3<\/p>\n\n\n\n
= 0<\/p>\n\n\n\n
E fazendo a divis\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
x\u00b3 + x\u00b2 – 7x – 3 | x + 3<\/p>\n\n\n\n
-x\u00b3 – 3x\u00b2 ——-<\/p>\n\n\n\n
——— x\u00b2 – 2x – 1<\/p>\n\n\n\n
-2x\u00b2 – 7x<\/p>\n\n\n\n
2x\u00b2 + 6x<\/p>\n\n\n\n
———–<\/p>\n\n\n\n
-x – 3<\/p>\n\n\n\n
x + 3<\/p>\n\n\n\n
—–<\/p>\n\n\n\n
0<\/p>\n\n\n\n
E ficamos com:<\/p>\n\n\n\n
= x\u2075 – x\u2074 – 8x\u00b3 + 12x\u00b2 – x – 3<\/p>\n\n\n\n
= (x – 1)\u00b2.(x\u00b3 + x\u00b2 – 7x – 3)<\/p>\n\n\n\n
= (x – 1)\u00b2.(x + 3).(x\u00b2 – 2x – 1)<\/p>\n\n\n\n
E agora o quociente n\u00e3o tem ra\u00edzes racionais. Ent\u00e3o vamos resolver a equa\u00e7\u00e3o pela f\u00f3rmula de B\u00e1skara para encontrarmos as ra\u00edzes:<\/p>\n\n\n\n
x\u00b2 – 2x – 1 = 0<\/p>\n\n\n\n
x = 1 +- raiz(2)<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o temos todas as ra\u00edzes:<\/p>\n\n\n\n
x = -3, 1 – raiz(2), 1, 1 + raiz(2)<\/p>\n\n\n\n
(sendo que o um \u00e9 uma raiz com multiplicidade 2)<\/p>\n\n\n\n
Como temos um polin\u00f4mio de grau 5, para valores bem pequenos (indo para menos infinito) a fun\u00e7\u00e3o tem sinal negativo. A\u00ed o sinal da fun\u00e7\u00e3o troca a cada raiz. Mas como 1 \u00e9 uma raiz dupla, a fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o troca de sinal nesse ponto. Ent\u00e3o o esquema dos sinais fica:<\/p>\n\n\n\n
—[-3]+++[1-raiz(2)]—[1]—[1+raiz(2)]+++<\/p>\n\n\n\n
Que \u00e9 o mesmo que:<\/p>\n\n\n\n
—[-3]+++[1-raiz(2)]—[1+raiz(2)]+++<\/p>\n\n\n\n
As ra\u00edzes est\u00e3o entre colchetes e os sinais entre elas s\u00e3o os sinais da fun\u00e7\u00e3o. Veja que 1 – raiz(2) \u00e9 aproximadamente -0,41 e 1 + raiz(2) \u00e9 aproximadamente 2,41.<\/p>\n\n\n\n
E agora vamos fazer a divis\u00e3o dos sinais:<\/p>\n\n\n\n
+++[-5-2raiz(6)]—[-5]++++++++++++++++[-5+2raiz(6)]——————-[3]+++<\/p>\n\n\n\n
————————–[-3]+++[1-raiz(2)]——————–[1+raiz(2)]+++++++++<\/p>\n\n\n\n
============================================================<\/p>\n\n\n\n
—[-5-2raiz(6)]+++[-5]—]-3[+++]1-raiz(2)[—[-5+2raiz(6)]+++]1+raiz(2)[—[3]+++<\/p>\n\n\n\n
Repare que eu coloquei no resultado algumas ra\u00edzes entre colchetes invertidos ] [, pois as ra\u00edzes do denominador fazem com que o denominador seja igual a zero e a\u00ed a divis\u00e3o n\u00e3o existe.<\/p>\n\n\n\n
Como queremos que essa divis\u00e3o seja menor ou igual a zero, temos que olhar os sinais do resultado e ver onde temos isso.<\/p>\n\n\n\n
Resposta:<\/p>\n\n\n\n
S = {x <= -5 – 2.raiz(6) ou -5 <= x < -3 ou 1 – raiz(2) < x <= -5 + 2.raiz(6) ou 1 + raiz(2) < x <= 3} <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[30],"class_list":["post-274","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-equacoes","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/274","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=274"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/274\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":275,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/274\/revisions\/275"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=274"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=274"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=274"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}