Primeiro vamos discutir a exist\u00eancia das ra\u00edzes que \u00e9 primordial, pois n\u00e3o adianta falarmos do sinal das ra\u00edzes se nem existirem ra\u00edzes reais. Para existirem ra\u00edzes reais numa equa\u00e7\u00e3o do segundo grau, o determinante deve ser maior ou igual a zero. Ent\u00e3o vamos fazer isso:<\/p>\n\n\n\n
D >= 0<\/p>\n\n\n\n
[-2.(m + 4)]\u00b2 – 4.(2m – 1).(5m + 2) >= 0<\/p>\n\n\n\n
4.(m + 4)\u00b2 – 4.(10m\u00b2 – m – 2) >= 0<\/p>\n\n\n\n
4.(m\u00b2 + 8m + 16) – 40m\u00b2 + 4m + 8 >= 0<\/p>\n\n\n\n
4m\u00b2 + 32m + 64 – 40m\u00b2 + 4m + 8 >= 0<\/p>\n\n\n\n
-36m\u00b2 + 36m + 72 >= 0<\/p>\n\n\n\n
36m\u00b2 – 36m – 72 <= 0<\/p>\n\n\n\n
36.(m\u00b2 – m – 2) <= 0<\/p>\n\n\n\n
36.(m – 2).(m + 1) <= 0<\/p>\n\n\n\n
Quando \u00e9 que 36m\u00b2 – 36m – 72 \u00e9 menor ou igual a zero? O gr\u00e1fico dessa fun\u00e7\u00e3o \u00e9 uma par\u00e1bola com concavidade para cima e com ra\u00edzes iguais a -1 e 2, ent\u00e3o teremos valores menores que zero para os pontos entre as ra\u00edzes:<\/p>\n\n\n\n
-1 <= m <= 2<\/p>\n\n\n\n
Isso quer dizer que a equa\u00e7\u00e3o s\u00f3 tem solu\u00e7\u00e3o real para “m” nesse intervalo. Agora vamos analisar os sinais das ra\u00edzes. Existe uma f\u00f3rmula para calcular a soma e outra para o produto das ra\u00edzes. Agora veja o que pode acontecer:<\/p>\n\n\n\n
i) produto das ra\u00edzes > 0<\/p>\n\n\n\n
soma das ra\u00edzes > 0<\/p>\n\n\n\n
Nesse caso as duas ra\u00edzes s\u00e3o positivas<\/p>\n\n\n\n
ii) produto das ra\u00edzes > 0<\/p>\n\n\n\n
soma das ra\u00edzes < 0<\/p>\n\n\n\n
Nesse caso as duas ra\u00edzes s\u00e3o negativas<\/p>\n\n\n\n
iii) produto das ra\u00edzes < 0<\/p>\n\n\n\n
soma das ra\u00edzes < 0<\/p>\n\n\n\n
Nesse caso as duas ra\u00edzes s\u00e3o de sinais contr\u00e1rios e a de maior m\u00f3dulo \u00e9 negativa.<\/p>\n\n\n\n
iv) produto das ra\u00edzes < 0<\/p>\n\n\n\n
soma das ra\u00edzes > 0<\/p>\n\n\n\n
Nesse caso as duas ra\u00edzes s\u00e3o de sinais contr\u00e1rios e a de maior m\u00f3dulo \u00e9 positiva.<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o vamos analisar o sinal do produto e da soma das ra\u00edzes. O produto das ra\u00edzes \u00e9 dado pela f\u00f3rmula c\/a e a soma \u00e9 -b\/a.<\/p>\n\n\n\n
Produto:<\/p>\n\n\n\n
= c\/a<\/p>\n\n\n\n
= (5m + 2)\/(2m – 1)<\/p>\n\n\n\n
Para saber o sinal desse quociente temos que ver os sinais do numerador e do denominador. Cada um deles \u00e9 uma reta e as duas retas s\u00e3o crescentes. Cada reta cruza o eixo x num ponto onde seu valor \u00e9 zero.<\/p>\n\n\n\n
5m + 2 = 0<\/p>\n\n\n\n
m = -2\/5<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o o sinal dessa reta se comporta assim:<\/p>\n\n\n\n
——–(-2\/5)++++++++<\/p>\n\n\n\n
2m – 1 = 0<\/p>\n\n\n\n
m = 1\/2<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o o sinal dessa reta se comporta assim:<\/p>\n\n\n\n
——–(1\/2)++++++++<\/p>\n\n\n\n
E juntando as duas:<\/p>\n\n\n\n
—(-2\/5)+++++++++++++<\/p>\n\n\n\n
—————(1\/2)+++++<\/p>\n\n\n\n
=======================<\/p>\n\n\n\n
++++(-2\/5)—(1\/2)+++++<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o podemos concluir que o produto das ra\u00edzes \u00e9 positivo quando:<\/p>\n\n\n\n
m 1\/2<\/p>\n\n\n\n
E o produto \u00e9 negativo quando:<\/p>\n\n\n\n
-2\/5 < m < 1\/2<\/p>\n\n\n\n
Agora vamos \u00e0 soma das ra\u00edzes.<\/p>\n\n\n\n
= -b\/a<\/p>\n\n\n\n
= -[-2.(m + 4)]\/(2m – 1)<\/p>\n\n\n\n
= 2.(m + 4)\/(2m – 1)<\/p>\n\n\n\n
= (2m + 8)\/(2m – 1)<\/p>\n\n\n\n
Da mesma forma vamos analisar os sinais das duas retas crescentes que formam essa fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
2m + 8 = 0<\/p>\n\n\n\n
m = -4<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o o sinal dessa reta se comporta assim:<\/p>\n\n\n\n
——–(-4)++++++++<\/p>\n\n\n\n
2m – 1 = 0<\/p>\n\n\n\n
m = 1\/2<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o o sinal dessa reta se comporta assim:<\/p>\n\n\n\n
——–(1\/2)++++++++<\/p>\n\n\n\n
E juntando as duas:<\/p>\n\n\n\n
—(-4)+++++++++++++<\/p>\n\n\n\n
————-(1\/2)+++++<\/p>\n\n\n\n
=======================<\/p>\n\n\n\n
++++(-4)—(1\/2)+++++<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o podemos concluir que a soma das ra\u00edzes \u00e9 positiva quando:<\/p>\n\n\n\n
m 1\/2<\/p>\n\n\n\n
E a soma \u00e9 negativa quando:<\/p>\n\n\n\n
-4 < m < 1\/2<\/p>\n\n\n\n
Veja que nos dois casos temos que m deve ser diferente de 1\/2 para n\u00e3o termos zero como denominador.<\/p>\n\n\n\n
Agora juntando o resultado da soma com o resultado do<\/p>\n\n\n\n
produto, podemos ver o que acontece:<\/p>\n\n\n\n
Produto = ++++++++(-2\/5)—(1\/2)+++<\/p>\n\n\n\n
Soma = +++(-4)————-(1\/2)+++<\/p>\n\n\n\n
Antes de concluirmos podemos primeiro limitar nosso resultado apenas aos valores de m que fazem com que a equa\u00e7\u00e3o tem solu\u00e7\u00e3o, que \u00e9 apenas entre -1 e 2:<\/p>\n\n\n\n
Produto = ++++++++(-2\/5)—(1\/2)+++<\/p>\n\n\n\n
Soma = +++(-4)—————(1\/2)+++<\/p>\n\n\n\n
Limitando ao intervalo [-1, 2]:<\/p>\n\n\n\n
-1*****************2<\/p>\n\n\n\n
Produto = +++(-2\/5)—(1\/2)+++<\/p>\n\n\n\n
Soma = ————–(1\/2)+++<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o vamos analisar cada parte para obtermos a resposta.<\/p>\n\n\n\n
Resposta:<\/p>\n\n\n\n
-1 <= m < -2\/5<\/p>\n\n\n\n
produto > 0 e soma < 0, portanto:<\/p>\n\n\n\n
Nesse caso as duas ra\u00edzes s\u00e3o negativas.<\/p>\n\n\n\n
Se m = -2\/5, teremos uma raiz igual a zero, pois o produto \u00e9 zero.<\/p>\n\n\n\n
-2\/5 < m < 1\/2<\/p>\n\n\n\n
produto < 0 e soma < 0, portanto:<\/p>\n\n\n\n
Nesse caso as duas ra\u00edzes s\u00e3o de sinais contr\u00e1rios e a de maior m\u00f3dulo \u00e9 negativa.<\/p>\n\n\n\n
1\/2 < m <= 2<\/p>\n\n\n\n
produto > 0 e soma > 0, portanto:<\/p>\n\n\n\n
Nesse caso as duas ra\u00edzes s\u00e3o positivas.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[30],"class_list":["post-272","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-equacoes","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/272","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=272"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/272\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":273,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/272\/revisions\/273"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=272"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=272"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=272"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}