{"id":245,"date":"2020-03-26T19:59:03","date_gmt":"2020-03-26T22:59:03","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=245"},"modified":"2026-01-22T16:45:39","modified_gmt":"2026-01-22T19:45:39","slug":"formula-da-uniao-de-3-conjuntos","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/formula-da-uniao-de-3-conjuntos\/","title":{"rendered":"4) Sabendo que a f\u00f3rmula do n\u00famero de elementos da uni\u00e3o de dois conjuntos \u00e9 n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A \u2229 B), determine a f\u00f3rmula da uni\u00e3o de 3 conjuntos n(A U B U C)."},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Muito interessante essa pergunta. Geralmente usamos as f\u00f3rmulas, mas infelizmente as pessoas n\u00e3o est\u00e3o muito interessadas em saber de onde vieram as f\u00f3rmulas. A melhor coisa \u00e9 voc\u00ea saber de onde veio a f\u00f3rmula porque a\u00ed n\u00e3o tem como voc\u00ea esquecer. Se esquecer da f\u00f3rmula voc\u00ea deduz novamente.<\/p>\n\n\n\n

Para chegar nessa f\u00f3rmula vamos fazer uma figura. Nela fiz tr\u00eas conjuntos A, B e C se intersectando mutuamente.<\/p>\n\n\n\n

\"f\u00f3rmula<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Veja que o total de elementos de A \u00e9 igual \u00e0 soma das seguintes regi\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n

A = a + d + f + g<\/p>\n\n\n\n

E da mesma forma os conjuntos B e C s\u00e3o a soma das seguintes regi\u00f5es do desenho:<\/p>\n\n\n\n

B = b + d + e + g<\/p>\n\n\n\n

C = c + e + f + g<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o quando queremos saber a uni\u00e3o dos 3 conjuntos temos que pegar a soma de todos os elementos de A com todos os elementos de B com todos os elementos de C. Mas se simplesmente somarmos todos os elementos de cada conjunto, estaremos pegando algumas regi\u00f5es mais de uma vez. As regi\u00f5es que s\u00e3o intersec\u00e7\u00e3o de apenas dois conjuntos (d, e, f) estaremos pegando duas vezes e a regi\u00e3o da intersec\u00e7\u00e3o dos 3 conjuntos (g) estaremos somando 3 vezes. Ent\u00e3o temos que subtrair algumas coisas.<\/p>\n\n\n\n

Agora repare que os elementos da intersec\u00e7\u00e3o de cada dois conjuntos abrange duas regi\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n

A \u2229 B = d + g<\/p>\n\n\n\n

A \u2229 C = f + g<\/p>\n\n\n\n

B \u2229 C = e + g<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o quando procuramos n(A U B U C), se somarmos s\u00f3 n(A) + n(B) + n(C) estaremos somando duas vezes essas regi\u00f5es de intersec\u00e7\u00e3o entre cada dois conjuntos, por isso na f\u00f3rmula subtra\u00edmos cada uma delas:<\/p>\n\n\n\n

– n(A \u2229 B) – n(A \u2229 C) – n(B \u2229 C)<\/p>\n\n\n\n

Mas ao subtrairmos cada uma delas, estamos subtraindo 3 vezes a regi\u00e3o de intersec\u00e7\u00e3o entre os 3 conjuntos, que tamb\u00e9m t\u00ednhamos somado 3 vezes quando somamos o total de elementos de cada conjunto n(A) + n(B) + n(C), por isso na f\u00f3rmula precisamos somar essa regi\u00e3o de novo:<\/p>\n\n\n\n

+ n(A \u2229 B \u2229 C)<\/p>\n\n\n\n

Talvez voc\u00ea visualize melhor com as letras de cada regi\u00e3o. Primeiro vou escrever cada parte da f\u00f3rmula em fun\u00e7\u00e3o das letras de cada regi\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

n(A U B U C) = a + b + c + d + e + f + g<\/p>\n\n\n\n

n(A) = a + d + f + g<\/p>\n\n\n\n

n(B) = b + d + e + g<\/p>\n\n\n\n

n(C) = c + e + f + g<\/p>\n\n\n\n

n(A \u2229 B) = d + g<\/p>\n\n\n\n

n(A \u2229 C) = f + g<\/p>\n\n\n\n

n(B \u2229 C) = e + g<\/p>\n\n\n\n

n(A \u2229 B \u2229 C) = g<\/p>\n\n\n\n

Agora colocando a f\u00f3rmula toda:<\/p>\n\n\n\n

= n(A) + n(B) + n(C) – n(A \u2229 B) – n(A \u2229 C) – n(B \u2229 C) + n(A \u2229 B \u2229 C)<\/p>\n\n\n\n

= (a+d+f+g) + (b+d+e+g) + (c+e+f+g) – (d+g) – (f+g) – (e+g) + (g)<\/p>\n\n\n\n

= (a+b+2d+e+f+2g) + (c+e+f+g) – (d+g) – (f+g) – (e+g) + (g)<\/p>\n\n\n\n

= (a+b+c+2d+2e+2f+3g) – (d+g) – (f+g) – (e+g) + (g)<\/p>\n\n\n\n

= (a+b+c+d+2e+2f+2g) – (f+g) – (e+g) + (g)<\/p>\n\n\n\n

= (a+b+c+d+2e+f+g) – (e+g) + (g)<\/p>\n\n\n\n

= (a+b+c+d+e+f) + (g)<\/p>\n\n\n\n

= (a+b+c+d+e+f+g)<\/p>\n\n\n\n

= a + b + c + d + e + f + g<\/p>\n\n\n\n

= n(A U B U C) <\/p>\n\n\n\n

Portanto a f\u00f3rmula \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \u2229 B) – n(A \u2229 C) – n(B \u2229 C) + n(A \u2229 B \u2229 C)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[7],"tags":[27],"class_list":["post-245","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-conjuntos","tag-medio"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/245","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=245"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/245\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":247,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/245\/revisions\/247"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=245"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=245"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=245"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}