{"id":226,"date":"2020-03-25T23:18:06","date_gmt":"2020-03-26T02:18:06","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=226"},"modified":"2020-03-25T23:18:06","modified_gmt":"2020-03-26T02:18:06","slug":"abc-e-def-sao-triangulos-equilateros-inscritos-em-circunferencias","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/abc-e-def-sao-triangulos-equilateros-inscritos-em-circunferencias\/","title":{"rendered":"1) ABC e DEF s\u00e3o tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros inscritos em circunfer\u00eancias conc\u00eantricas C’ e C” : P e Q s\u00e3o tomados respectivamente sobre as circunfer\u00eancias C’ e C” . Demonstrar a rela\u00e7\u00e3o:"},"content":{"rendered":"\n

(QA)2<\/sup>\u00a0+ (QB)2<\/sup>\u00a0+ (QC)2<\/sup>\u00a0= (PD)2<\/sup>\u00a0+ (PE)2<\/sup>\u00a0+\u00a0(PF)2<\/sup><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

A \u00fanica solu\u00e7\u00e3o que consegui (e n\u00e3o fui eu quem resolveu) \u00e9 bem complicada. Envolve conceitos de n\u00fameros complexos. \u00c9 bom lembrar que o n\u00famero “e” \u00e9 o n\u00famero neperiano, base dos logaritmos naturais.<\/p>\n\n\n\n

Sejam R1<\/sub> e R2<\/sub> os raios de C’ e C”, respectivamente.<\/p>\n\n\n\n

Teremos:<\/p>\n\n\n\n

A = R1<\/sub><\/p>\n\n\n\n

B = R1<\/sub>.ei.2pi\/3<\/sup><\/p>\n\n\n\n

C = R1<\/sub>.e-i.2pi\/3<\/sup><\/p>\n\n\n\n

D = R2<\/sub>.eia<\/sup><\/p>\n\n\n\n

E = R2<\/sub>.ei.(a + 2pi\/3)<\/sup><\/p>\n\n\n\n

F = R2<\/sub>.ei.(a – 2pi\/3)<\/sup><\/p>\n\n\n\n

P = R1.eix<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Q = R2<\/sub>.eiy<\/sup><\/p>\n\n\n\n

onde a, x e y s\u00e3o n\u00fameros reais arbitr\u00e1rios.<\/p>\n\n\n\n

Vamos, agora, usar os seguintes dois lemas:<\/p>\n\n\n\n

1) Sejam os n\u00fameros complexos R1<\/sub>.eiu<\/sup> e R2<\/sub>.eiv<\/sup>.<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

|R1<\/sub>.eiu<\/sup> – R2<\/sub>.eiv<\/sup>|2<\/sup> = R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>2<\/sup> – 2.R1<\/sub>.R2<\/sub>.cos(u – v)<\/p>\n\n\n\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

Expandir o lado esquerdo e usar que:<\/p>\n\n\n\n

cos(u – v) = (cos u).(cos v) + (sen u).(sen v)<\/p>\n\n\n\n

2) Para todo x real:<\/p>\n\n\n\n

cos x + cos (x – 2pi\/3) + cos (x + 2pi\/3) = 0<\/p>\n\n\n\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

Sabemos que 1 + ei.2pi\/3<\/sup> + e-i.2pi\/3<\/sup> = 0<\/p>\n\n\n\n

(soma das 3 ra\u00edzes c\u00fabicas da unidade)<\/p>\n\n\n\n

Multiplicando por eix<\/sup>, teremos:<\/p>\n\n\n\n

eix<\/sup> + ei.(x + 2pi\/3)<\/sup> + ei.(x – 2pi\/3)<\/sup> = 0<\/p>\n\n\n\n

Tomando a parte real, obtemos o resultado.<\/p>\n\n\n\n

Usando o Lema 1, teremos:<\/p>\n\n\n\n

|Q – A|2<\/sup> = R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>2<\/sup> – 2.R1<\/sub>.R2<\/sub>.(cos y)<\/p>\n\n\n\n

|Q – B|2<\/sup> = R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>2<\/sup> – 2.R1<\/sub>.R2<\/sub>.cos(y – 2pi\/3)<\/p>\n\n\n\n

|Q – C|2<\/sup> = R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>2<\/sup> – 2.R1<\/sub>.R2<\/sub>.cos(y + 2pi\/3)<\/p>\n\n\n\n

Somando estas 3 equa\u00e7\u00f5es e usando o Lema 2 nos termos em R1<\/sub>.R2<\/sub>, vem:<\/p>\n\n\n\n

|Q – A|2<\/sup> + |Q – B|2<\/sup> + |Q – C|2<\/sup> = 3.(R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>\u00b2<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n

Analogamente, via Lema 1, teremos:<\/p>\n\n\n\n

|P – D|2<\/sup> = R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>2<\/sup> – 2.R1<\/sub>.R2<\/sub>.cos(x – a)<\/p>\n\n\n\n

|P – E|2<\/sup> = R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>2<\/sup> – 2.R1<\/sub>.R2<\/sub>.cos(x – a – 2pi\/3)<\/p>\n\n\n\n

|P – F|2<\/sup> = R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>2<\/sup> – 2.R1<\/sub>.R2<\/sub>.cos(x – a + 2pi\/3)<\/p>\n\n\n\n

E, portanto:<\/p>\n\n\n\n

|P – D|2<\/sup> + |P – E|2<\/sup> + |P – F|2<\/sup> = 3.(R1<\/sub>2<\/sup> + R2<\/sub>2<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n

Logo, vale a igualdade:<\/p>\n\n\n\n

|Q – A|2<\/sup> + |Q – B|2<\/sup> + |Q – C|2<\/sup> = |P – D|2<\/sup> + |P – E|2<\/sup> + |P – F|2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Que \u00e9 o mesmo que:<\/p>\n\n\n\n

(QA)2<\/sup> + (QB)2<\/sup> + (QC)2<\/sup> = (PD)2<\/sup> + (PE)2<\/sup> + (PF)2<\/sup><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

(QA)2\u00a0+ (QB)2\u00a0+ (QC)2\u00a0= (PD)2\u00a0+ (PE)2\u00a0+\u00a0(PF)2<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[30],"class_list":["post-226","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-circunferencias","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/226","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=226"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/226\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":227,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/226\/revisions\/227"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=226"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=226"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=226"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}