{"id":214,"date":"2020-03-25T23:09:38","date_gmt":"2020-03-26T02:09:38","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=214"},"modified":"2020-03-25T23:09:38","modified_gmt":"2020-03-26T02:09:38","slug":"duas-circunferencias-de-raios-r-e-r-cortam-se-sob-um-angulo-de-120o","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/duas-circunferencias-de-raios-r-e-r-cortam-se-sob-um-angulo-de-120o\/","title":{"rendered":"1) Duas circunfer\u00eancias de raios R e r cortam-se sob um \u00e2ngulo de 120\u00ba. Tra\u00e7a-se a tangente comum externa AB (A e B pontos de contato). Determine o raio da circunfer\u00eancia que \u00e9 tangente \u00e0s duas primeiras e tangente \u00e0 reta AB."},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n
\"circunfer\u00eancias<\/figure><\/div>\n\n\n\n

De acordo com a figura acima, a circunfer\u00eancia de centro O tem raio R, a circunfer\u00eancia de centro o (min\u00fasculo) tem raio r e a circunfer\u00eancia tangente \u00e0s outras duas e \u00e0 reta AB tem centro X e raio x. O ponto D \u00e9 um dos pontos de intersec\u00e7\u00e3o entre as duas circunfer\u00eancias de centros O e o. Al\u00e9m disso C0 \/\/ AB (parelalelos).<\/p>\n\n\n\n

Basicamente usaremos o fato de que os segmentos MN e Co s\u00e3o congruentes. Para calcularmos Co precisamos da medida de Oo, que podemos achar usando a lei dos cossenos no tri\u00e2ngulo ODo:<\/p>\n\n\n\n

Oo2<\/sup> = OD2<\/sup> + Do2<\/sup> – 2.OD.Do.(cos 120\u00b0)<\/p>\n\n\n\n

Oo2<\/sup> = R2<\/sup> + r2<\/sup> – 2.R.r.(-1\/2)<\/p>\n\n\n\n

Oo2<\/sup> = R2<\/sup> + r2<\/sup> + Rr<\/p>\n\n\n\n

Podemos agora calcular o tamanho de Co atrav\u00e9s do Teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo OCo:<\/p>\n\n\n\n

OC2<\/sup> + Co2<\/sup> = Oo2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

(R – r)2<\/sup> + Co2<\/sup> = R2<\/sup> + r2<\/sup> + Rr<\/p>\n\n\n\n

Co = raiz(3Rr)<\/p>\n\n\n\n

Agora podemos achar o comprimento dos segmentos MX e XN pelo teorema de Pit\u00e1goras nos tri\u00e2ngulos OMX e oNX respectivamente:<\/p>\n\n\n\n

– No OMX<\/p>\n\n\n\n

OM2<\/sup> + MX2<\/sup> = OX2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

(R – x)2<\/sup> + MX2<\/sup> = (R + x)2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

MX = 2.raiz(Rx)<\/p>\n\n\n\n

– No oNX<\/p>\n\n\n\n

oN2<\/sup> + XN2<\/sup> = oX2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

(r – x)2<\/sup> + XN2<\/sup> = (r + x)2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

XN = 2.raiz(rx)<\/p>\n\n\n\n

E agora como MX + XN = MN:<\/p>\n\n\n\n

MN = Co<\/p>\n\n\n\n

MX + XN = Do<\/p>\n\n\n\n

2.raiz(Rx) + 2.raiz(rx) = raiz(3Rr)<\/p>\n\n\n\n

2.raiz(x).[raiz(R) + raiz(r)] = raiz(3Rr)<\/p>\n\n\n\n

raiz(x) = raiz(3Rr)\/{2.[raiz(R) + raiz(r)]}<\/p>\n\n\n\n

x = 3Rr\/{4.[R + 2.raiz(Rr) + r]}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[29],"class_list":["post-214","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-circunferencias","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/214","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=214"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/214\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":216,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/214\/revisions\/216"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=214"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=214"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=214"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}