Teremos um zero ao final desse n\u00famero cada vez que tivermos um 10 multiplicando, ou ainda, quando tivermos um fator 2 e um fator 5. Mas nesse produto temos muitos fatores dois, pois todos os n\u00fameros pares t\u00eam pelo menos um fator dois na sua fatora\u00e7\u00e3o. Ent\u00e3o, para sabermos quantos zeros teremos nesse produto basta contarmos quantos fatores iguais a 5 temos juntando os fatores de todos os n\u00fameros.<\/p>\n\n\n\n
Quais s\u00e3o os n\u00fameros que t\u00eam 5 como fator primo em sua decomposi\u00e7\u00e3o?<\/p>\n\n\n\n
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…<\/p>\n\n\n\n
S\u00e3o todos os termos da PA de raz\u00e3o 5 e primeiro termo 5, entre o 5 e o 1000. Entretanto, alguns desses n\u00fameros t\u00eam mais de um 5 como fator primo. Os m\u00faltiplos de 25 t\u00eam 2 fatores primos. Os m\u00faltiplos de 125 t\u00eam 3 fatores primos. E o 625 tem 4 fatores primos. Teremos que contar ent\u00e3o cada caso. Vamos come\u00e7ar pelos que t\u00eam mais, porque quando contarmos os m\u00faltiplos de 125 por exemplo, nele estaremos incluindo o 625 que j\u00e1 contamos antes.<\/p>\n\n\n\n
I) 4 fatores 5<\/p>\n\n\n\n
625<\/p>\n\n\n\n
S\u00f3 temos 1 n\u00famero com quatro fatores 5.<\/p>\n\n\n\n
Total = 1 n\u00famero<\/p>\n\n\n\n
II) 3 fatores 5 (m\u00faltiplos de 125)<\/p>\n\n\n\n
125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 1000<\/p>\n\n\n\n
Temos 8 n\u00fameros, mas temos que tirar o 625 que j\u00e1 entrou no primeiro caso.<\/p>\n\n\n\n
Total = 7 n\u00fameros<\/p>\n\n\n\n
III) 2 fatores 5 (m\u00faltiplos de 25)<\/p>\n\n\n\n
Para facilitar, vamos contar quantos termos tem a PA de raz\u00e3o 25, de primeiro termo 25 e \u00faltimo termo 1000. Isso quer dizer que a1<\/sub> = 25, r = 25 an<\/sub> = 1000:<\/p>\n\n\n\n an<\/sub> = a1<\/sub> + (n – 1).r<\/p>\n\n\n\n 1000 = 25 + (n – 1).25<\/p>\n\n\n\n 1000 = 25 + 25n – 25<\/p>\n\n\n\n 1000 = 25n<\/p>\n\n\n\n n = 40<\/p>\n\n\n\n Temos ent\u00e3o 40 termos que s\u00e3o m\u00faltiplos de 25. Mas temos que tirar da\u00ed os m\u00faltiplos de 125 e o 625, que s\u00e3o 8.<\/p>\n\n\n\n Total = 32 n\u00fameros<\/p>\n\n\n\n IV) 1 fator 5 (m\u00faltiplos de 5)<\/p>\n\n\n\n Para facilitar, vamos contar quantos termos tem a PA de raz\u00e3o 5, de primeiro termo 5 e \u00faltimo termo 1000. Isso quer dizer que a1<\/sub> = 5, r = 5 an<\/sub> = 1000:<\/p>\n\n\n\n an<\/sub> = a1<\/sub> + (n – 1).r<\/p>\n\n\n\n 1000 = 5 + (n – 1).5<\/p>\n\n\n\n 1000 = 5 + 5n – 5<\/p>\n\n\n\n 1000 = 5n<\/p>\n\n\n\n n = 200<\/p>\n\n\n\n Temos ent\u00e3o 200 termos que s\u00e3o m\u00faltiplos de 5. Mas temos que tirar da\u00ed os m\u00faltiplos de 25, 125 e o 625, que s\u00e3o 40.<\/p>\n\n\n\n Total = 160 n\u00fameros<\/p>\n\n\n\n Agora vamos contar os fatores 5. como temos 160 m\u00faltipos de 5 (apenas um fator 5) teremos:<\/p>\n\n\n\n 160 vezes o fator 5<\/p>\n\n\n\n Como temos 32 m\u00faltiplos de 25, eles nos d\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n 32 . 2 = 64 fatores 5<\/p>\n\n\n\n Como temos 7 m\u00faltiplos de 125, eles nos d\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n 7 . 3 = 21 fatores 5<\/p>\n\n\n\n Como temos 1 m\u00faltiplos de 625, ele nos d\u00e1:<\/p>\n\n\n\n 4 fatores 5<\/p>\n\n\n\n Somando todos os casos:<\/p>\n\n\n\n 160 + 64 + 21 + 4 = 249 fatores 5.<\/p>\n\n\n\n Ent\u00e3o teremos 249 vezes o n\u00famero 10 no desenvolvimento de 1000!.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[30],"class_list":["post-206","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analise-combinatoria","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/206","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=206"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/206\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":207,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/206\/revisions\/207"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=206"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=206"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=206"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}