Para resolvermos esta quest\u00e3o temos que usar o conceito de inclus\u00e3o e exclus\u00e3o de conjuntos. Basicamente, este conceito diz o seguinte:<\/p>\n\n\n\n
“Dados dois conjuntos A e B, para sabermos o n\u00famero de elementos de A uni\u00e3o B, temos que fazer:<\/p>\n\n\n\n
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ^ B)”<\/p>\n\n\n\n
onde n(A) \u00e9 o n\u00famero de elementos de A,<\/p>\n\n\n\n
n(A U B) \u00e9 o n\u00famero de elementos de A uni\u00e1o com B,<\/p>\n\n\n\n
n(A ^ B) \u00e9 o n\u00famero de elementos de A intersec\u00e7\u00e3o B.<\/p>\n\n\n\n
Se o n\u00famero de conjuntos for 3, teremos:<\/p>\n\n\n\n
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ^ B) – n(A ^ C) – n(B ^ C) + n(A ^ B ^ C)<\/p>\n\n\n\n
E se forem “n” conjuntos, da mesma forma, pegamos a soma de todos os conjuntos, tiramos a intersec\u00e7\u00e3o dos conjuntos 2 a 2, somamos a intersec\u00e7\u00e3o dos conjuntos 3 a 3, tiramos a intersec\u00e7\u00e3o dos conjuntos 4 a 4, somamos a intersec\u00e7\u00e3o dos conjuntos 5 a 5, e assim sucessivamente, sempre somando uma intersec\u00e7\u00e3o e subtraindo a seguinte, at\u00e9 a intersec\u00e7\u00e3o de todos os conjuntos.<\/p>\n\n\n\n
No caso do problema proposto, temos que encontrar o n\u00famero de maneiras de ordenar as letras a, a, b, b, b, c, c, d, d de modo que duas letras iguais nunca fiquem juntas.<\/p>\n\n\n\n
Para fazermos isso, temos que calcular o total de permuta\u00e7\u00f5es dessas 9 letras e tirar as permuta\u00e7\u00f5es onde aparecem letras iguais lado a lado. A\u00ed vamos ter que usar o princ\u00edpio da inclus\u00e3o e exclus\u00e3o. Calcularemos o total de permuta\u00e7\u00f5es onde aparece uma das letras sempre junto com seu par ou trio (no caso do b), depois o n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es onde aparecem 2 das letras sempre juntas com seus pares, depois 3 letras sempre juntas e depois todas as letras sempre juntas. E faremos:<\/p>\n\n\n\n
Resposta = n(total) – n(aa) – n(bb) – n(cc) – n(dd) + n(aabb) + n(aacc) + n(aadd) + n(bbcc) + n(bbdd) + n(ccdd) – n(aabbcc) – n(aabbdd) – n(aaccdd) – n(bbccdd) + n(aabbccdd)<\/p>\n\n\n\n
Repare que eu n\u00e3o escrevi nunca os tr\u00eas b\u00b4s juntos, porque bastam dois juntos para n\u00e3o entrar no conjunto que queremos. S\u00f3 que quando calcularmos, por exemplo, o n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es que t\u00eam dois b juntos, estaremos contando 2 vezes as permuta\u00e7\u00f5es que t\u00eam 3 b juntos, porque contamos quando os dois b est\u00e3o antes do b sozinho e quando os dois b est\u00e3o depois do b sozinho. E na verdade estas duas permuta\u00e7\u00f5es t\u00eam os 3 b juntos. Ent\u00e3o, sempre que calcularmos as permuta\u00e7\u00f5es que cont\u00e9m pelo menos dois b juntos, calcularemos quantas tem 2 b juntos e tiraremos uma vez as permuta\u00e7\u00f5es que t\u00eam os 3 b juntos. Este \u00e9 o detalhe do problema. Vamos \u00e0s contas:<\/p>\n\n\n\n
Total de permuta\u00e7\u00f5es: 9 letras, sendo 2a, 3b, 2c e 2d<\/p>\n\n\n\n
n(total) = 9!\/(2!.3!.2!.2!) = 7560<\/p>\n\n\n\n
Permuta\u00e7\u00f5es onde uma das letras aparece lado a lado com outra letra igual (quando uma letra est\u00e1 junto com outra, consideramos como se fosse uma letra s\u00f3 mudando de lugar):<\/p>\n\n\n\n
n(aa) = 8!\/(3!.2!.2!) = 1680<\/p>\n\n\n\n
n(bb) – n(bbb) = 8!\/(2!.2!.2!) – 7!\/(2!.2!.2!) = 4410<\/p>\n\n\n\n
n(cc) = 8!\/(3!.2!.2!) = 1680<\/p>\n\n\n\n
n(dd) = 8!\/(3!.2!.2!) = 1680<\/p>\n\n\n\n
Permuta\u00e7\u00f5es onde duas das letras est\u00e3o juntas com o par:<\/p>\n\n\n\n
n(aabb) – n(aabbb) = 7!\/(2!.2!) – 6!\/(2!.2!) = 1080<\/p>\n\n\n\n
n(aacc) = 7!\/(3!.2!) = 420<\/p>\n\n\n\n
n(aadd) = 7!\/(3!.2!) = 420<\/p>\n\n\n\n
n(bbcc) – n(bbbcc) = 7!\/(2!.2!) – 6!\/(2!.2!) = 1080<\/p>\n\n\n\n
n(bbdd) – n(bbbdd) = 7!\/(2!.2!) – 6!\/(2!.2!) = 1080<\/p>\n\n\n\n
n(ccdd) = 7!\/(3!.2!) = 420<\/p>\n\n\n\n
Permuta\u00e7\u00f5es onde tr\u00eas das letras est\u00e3o juntas com o par:<\/p>\n\n\n\n
n(aabbcc) – n(aabbbcc) = 6!\/2! – 5!\/2! = 300<\/p>\n\n\n\n
n(aabbdd) – n(aabbbdd) = 6!\/2! – 5!\/2! = 300<\/p>\n\n\n\n
n(aaccdd) = 6!\/3! = 120<\/p>\n\n\n\n
n(bbccdd) – n(bbbccdd) = 6!\/2! – 5!\/2! = 300<\/p>\n\n\n\n
Permuta\u00e7\u00f5es onde todas as letras est\u00e3o juntas com o par:<\/p>\n\n\n\n
n(aabbccdd) – n(aabbbccdd) = 5! – 4! = 96<\/p>\n\n\n\n
E fazendo as contas:<\/p>\n\n\n\n
Resposta = 7560 – 1680 – 4410 – 1680 – 1680 + 1080 + 420 + 420 + 1080 + 1080 + 420 – 300 – 300 – 120 – 300 + 96<\/p>\n\n\n\n
Resposta = 1686<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[30],"class_list":["post-202","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analise-combinatoria","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/202","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=202"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/202\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":203,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/202\/revisions\/203"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=202"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=202"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=202"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}