{"id":189,"date":"2020-03-25T22:08:01","date_gmt":"2020-03-26T01:08:01","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=189"},"modified":"2020-03-25T22:08:01","modified_gmt":"2020-03-26T01:08:01","slug":"com-seis-varetas-se-constroi-uma-peca-como-a-da-figura-abaixo","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/com-seis-varetas-se-constroi-uma-peca-como-a-da-figura-abaixo\/","title":{"rendered":"6) Com seis varetas se constr\u00f3i uma pe\u00e7a como a da figura abaixo."},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

As tr\u00eas varetas exteriores s\u00e3o iguais entre si. As tr\u00eas varetas interiores s\u00e3o iguais entre si. Se deseja pintar cada vareta de uma cor s\u00f3 de modo que em cada ponto de uni\u00e3o, as tr\u00eas varetas que chegam tenham cores diferentes. As varetas s\u00f3 podem ser pintadas de azul, branco, vermelho ou verde. De quantas maneiras pode-se pintar a pe\u00e7a?<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Como em cada ponto de uni\u00e3o as 3 varetas devem ter cores diferentes, as tr\u00eas varetas interiores devem ter cores diferentes, porque elas se encontram no centro do tri\u00e2ngulo. Agora resta saber como podemos colocar as cores das varetas de fora.<\/p>\n\n\n\n

Temos 4 cores para pintar as varetas, ent\u00e3o vamos chamar essas cores de 1, 2, 3 e 4 e depois veremos como podemos mudar essas cores. Digamos que as cores das varetas internas sejam 1, 2 e 3. Assim, a vareta externa entre as varetas 1 e 2 s\u00f3 pode ser pintada de 3 ou 4, porque n\u00e3o podem se encontrar duas varetas da mesma cor num v\u00e9rtice. da mesma maneira, entre as varetas 2 e 3 s\u00f3 podemos pintar de 1 ou 4 e entre as varetas 1 e 3 s\u00f3 podemos pintar de 2 ou 4.<\/p>\n\n\n\n

Agora voc\u00ea pode ir pintando cada caso desses e no final voc\u00ea ver\u00e1 que na verdade tudo pode ser resumido a apenas duas maneiras de pintar as varetas: usando 3 cores ou usando 4 cores. \u00c9 justamente o que pode ver na na figura abaixo.<\/p>\n\n\n\n

\"seis<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Veja que nas duas figuras as cores internas s\u00e3o todas diferentes (1, 2 e 3) e depois as cores externas s\u00f3 h\u00e1 duas possibilidades:<\/p>\n\n\n\n

1 \u2013 as cores externas podem ser iguais \u00e0s cores internas, e dessa forma temos que colocar cores diferentes entre as varetas internas, por exemplo, entre as cores 1 e 2 internas, temos que colocar 3 na externa e assim por diante.<\/p>\n\n\n\n

2 \u2013 Usamos mais uma cor, 4, que voc\u00ea coloca entre duas varetas quaisquer, por exemplo, entre a 1 e a 2. Se voc\u00ea colocar essa quarta cor, voc\u00ea ver\u00e1 que as outras duas varetas n\u00e3o t\u00eam op\u00e7\u00e3o, s\u00f3 podem ser uma coisa. Entre a 1 e a 3 s\u00f3 podemos ter a 2 e entre a 2 e 3 s\u00f3 podemos ter a 1.<\/p>\n\n\n\n

Agora agente precisa colocar as cores no lugar dos n\u00fameros. No caso da primeira possibilidade, temos que tomar cuidado com as rota\u00e7\u00f5es da pe\u00e7a. Veja que se colocarmos as cores assim:<\/p>\n\n\n\n

1 = azul, 2 = branco, 3 = vermelho<\/p>\n\n\n\n

ou se colocarmos:<\/p>\n\n\n\n

1 = vermelho, 2 = azul, 3 = branco<\/p>\n\n\n\n

Temos a mesma pe\u00e7a porque foi s\u00f3 uma rota\u00e7\u00e3o da pe\u00e7a. Mas se colocarmos:<\/p>\n\n\n\n

1 = azul, 2 = vermelho, 3 = branco<\/p>\n\n\n\n

A\u00ed n\u00e3o tem como rotacionarmos a primeira pe\u00e7a para ficar desse jeito. Assim, temos que escolher 3 das 4 cores dispon\u00edveis e a\u00ed teremos duas maneiras para cada conjunto de 3 cores. Isso pode ser feito de:<\/p>\n\n\n\n

2 . C4, 3<\/sub> = 2.4!\/3!.1!<\/p>\n\n\n\n

2 . C4, 3<\/sub> = 2.4.3!\/3!.1<\/p>\n\n\n\n

2 . C4, 3<\/sub> = 2.4<\/p>\n\n\n\n

2 . C4, 3<\/sub> = 8 maneiras<\/p>\n\n\n\n

Agora vamos ver a segunda possibilidade que \u00e9 quando usamos 4 cores. Temos que escolher as duas cores que aparecem uma vez s\u00f3 (3 e 4) e a\u00ed j\u00e1 sabemos quais as cores que sobram para serem as outras duas que repetem (1 e 2). s\u00f3 que depois de escolhidas as duas cores que repetem, podemos colocar uma interior e a outra exterior ou vice-versa, ent\u00e3o j\u00e1 temos dois casos diferentes. E as cores que repetem tamb\u00e9m podem trocar de lugar que teremos uma nova disposi\u00e7\u00e3o porque n\u00e3o tem jeito de rotacionarmos a pe\u00e7a de nenhuma maneira que fique a mesma coisa. Ent\u00e3o temos que escolher 2 cores que n\u00e3o repetir\u00e3o, e assim teremos 4 maneiras de dispor as 4 cores (duas vezes pela troca entre 3 e 4 e duas vezes pela troca entre 1 e 2). Assim temos:<\/p>\n\n\n\n

2 . 2 . C4, 2<\/sub> = 2.2.4!\/2!.2!<\/p>\n\n\n\n

2 . 2 . C4, 2<\/sub> = 2.2.4!\/2.2<\/p>\n\n\n\n

2 . 2 . C4, 2<\/sub> = 4!<\/p>\n\n\n\n

2 . 2 . C4, 2<\/sub> = 24 maneiras<\/p>\n\n\n\n

E o total de maneiras \u00e9 a soma dos dois casos considerados:<\/p>\n\n\n\n

= 8 + 24<\/p>\n\n\n\n

= 32<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[29],"class_list":["post-189","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analise-combinatoria","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/189","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=189"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/189\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":192,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/189\/revisions\/192"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=189"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=189"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=189"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}