Esse problema tem um problema! Temos que tomar cuidado nos exerc\u00edcios de an\u00e1lise combinat\u00f3ria quando temos eventos que n\u00e3o s\u00e3o independentes, ou seja, um dos passos depende do passo que foi dado anteriormente. Nesse caso, numa certa altura do problema teremos um evento que depende do passo anterior, ent\u00e3o teremos que dividir o problema em partes que tenham apenas passos independentes. Depois somamos todas as possibilidades. Vamos l\u00e1.<\/p>\n\n\n\n
Primeiro vou desenhar as linhas e colunas, e \u00e0 medida que eu for resolvendo, vou colocando o n\u00famero de possibilidades para cada quadrado dentro do pr\u00f3prio quadrado. Vou chamar os quadrados pelo seu lugar em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 linha e a coluna. Assim o primeiro quadrado est\u00e1 na linha 1 coluna 1 (L1C1).<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| | | | L1
——————
| | | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
Bom, primeiro vamos colocar uma ficha, no quadrado L1C1. Quantas possibilidades temos? 6? N\u00e3o. S\u00f3 temos tr\u00eas op\u00e7\u00f5es, porque temos duas fichas de cada cor, sendo assim, as fichas de mesma cor s\u00e3o apenas uma op\u00e7\u00e3o. Nossas op\u00e7\u00f5es s\u00e3o: ficha vermelha, ficha branca ou ficha azul. N\u00e3o importa qual das fichas azuis, por exemplo, eu escolha. O que importa \u00e9 que ela seja azul! A n\u00e3o ser que as fichas fossem diferentes… Bom, ent\u00e3o temos:<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | | | L1
——————
| | | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
Depois de colocada uma das tr\u00eas cores em L1C1, vamos agora colocar agora uma ficha em L2C1, na mesma coluna da primeira ficha. Ent\u00e3o esta ficha tem que ser de cor diferente. S\u00f3 temos ent\u00e3o 2 op\u00e7\u00f5es, pois j\u00e1 colocamos uma das cores em L1C1.<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | | | L1
——————
| 2 | | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
Agora vamos para L1C2. Novamente podemos escolher qualquer das tr\u00eas cores, n\u00e3o h\u00e1 restri\u00e7\u00e3o. s\u00e3o tr\u00eas op\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | 3 | | L1
——————
| 2 | | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
E agora temos que colocar uma ficha em L2C2. Quantas op\u00e7\u00f5es temos agora? A\u00ed \u00e9 que vamos ter um problema! N\u00e3o d\u00e1 pra dizer um n\u00famero espec\u00edfico, porque depende da ficha que colocamos acima desta. Se a ficha que colocamos acima dela (L1C2) for de cor igual \u00e0 uma das cores da coluna 1, s\u00f3 temos uma op\u00e7\u00e3o, que \u00e9 a \u00fanica cor que ainda n\u00e3o saiu, porque se colocarmos a outra cor que j\u00e1 saiu, n\u00e3o teremos colocado nenhuma ficha de uma cor e a\u00ed ter\u00edamos que colocar as duas fichas da mesma cor na \u00faltima coluna! O que n\u00e3o pode acontecer. Por outro lado, se a ficha no quadrado L1C2 for da cor que ainda n\u00e3o tinha sa\u00eddo, temos duas op\u00e7\u00f5es para colocar em L2C2, pode ser qualquer outra cor diferente da que est\u00e1 em L1C2 porque n\u00e3o teremos cores repetias na coluna 3. Veja um exemplo com cores: (V = vermelha, A = azul, B = branca):<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| V | V | | L1
——————
| B | | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
Se colocarmos outra ficha vermelha em L1C2, como est\u00e1 acima, n\u00e3o podemos colocar uma branca embaixo dela, porque ter\u00edamos que colocar as duas azuis em C3. Ent\u00e3o, nesse caso, s\u00f3 temos uma op\u00e7\u00e3o: azul! Se eu colocasse uma azul no lugar dessa vermelha:<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| V | A | | L1
——————
| B | | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
Posso colocar vermelha ou branca embaixo dela que sobrar\u00e1 sempre duas fichas diferentes. Ent\u00e3o voc\u00ea est\u00e1 vendo que depende se a ficha em L1C2 \u00e9 diferente das outras duas ou \u00e9 igual para agente saber quantas possibilidades temos na casa L2C2. Ent\u00e3o vamos ter que separar o problema em duas partes: se colocarmos uma ficha de cor diferente ou se colocarmos uma ficha de cor igual a uma das duas primeiras.<\/p>\n\n\n\n
I) L1C2 tem uma ficha de cor diferente das outras duas cores j\u00e1 escolhidas:<\/p>\n\n\n\n
Se L1C2 tem uma cor diferente de uma das duas cores j\u00e1 escolhidas, s\u00f3 temos uma cor pra escolher, ent\u00e3o s\u00f3 temos uma op\u00e7\u00e3o para L1C2:<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | 1 | | L1
——————
| 2 | | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
E agora para L2C2 temos duas op\u00e7\u00f5es, s\u00f3 tem que ser diferente da cor da ficha acima (L1C2),<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | 1 | | L1
——————
| 2 | 2 | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
E por fim, na \u00faltima coluna, S\u00f3 temos duas fichas na m\u00e3o, ent\u00e3o s\u00f3 temos duas op\u00e7\u00f5es para a casa L1C3 e depois s\u00f3 teremos uma op\u00e7\u00e3o para a \u00faltima casa, que ficar\u00e1 com a \u00faltima ficha.<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | 1 | 2 | L1
——————
| 2 | 2 | 1 | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
Pronto! Pelo princ\u00edpio fundamental de contagem, temos que multiplicar os n\u00fameros de possibilidades de cada quadrado para saber de quantas maneiras podemos colocar essas fichas.<\/p>\n\n\n\n
3 . 2 . 1 . 2 . 2 . 1 = 24 maneiras.<\/p>\n\n\n\n
Esse foi o caso I, agora vamos ao caso II, e depois temos que somar todas as possibilidades.<\/p>\n\n\n\n
II) L1C2 tem uma ficha de cor igual a uma das outras duas cores j\u00e1 escolhidas:<\/p>\n\n\n\n
Se L1C2 tem uma cor igual a uma das duas cores j\u00e1 escolhidas, temos duas cores pra escolher, temos duas op\u00e7\u00f5es para L1C2:<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | 2 | | L1
——————
| 2 | | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
E agora para L2C2 s\u00f3 temos uma op\u00e7\u00e3o, pois n\u00e3o podemos colocar a outra cor que j\u00e1 hav\u00edamos colocado na primeira coluna porque sobrariam duas fichas da mesma cor!<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | 2 | | L1
——————
| 2 | 1 | | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
E por fim, na \u00faltima coluna, S\u00f3 temos duas fichas na m\u00e3o, ent\u00e3o s\u00f3 temos duas op\u00e7\u00f5es para a casa L1C3 e depois s\u00f3 teremos uma op\u00e7\u00e3o para a \u00faltima casa, que ficar\u00e1 com a \u00faltima ficha.<\/p>\n\n\n\n
C1 C2 C3
——————
| 3 | 2 | 2 | L1
——————
| 2 | 1 | 1 | L2
——————<\/p>\n\n\n\n
Pronto! Pelo princ\u00edpio fundamental de contagem, temos que multiplicar os n\u00fameros de possibilidades de cada quadrado para saber de quantas maneiras podemos colocar essas fichas.<\/p>\n\n\n\n
3 . 2 . 2 . 1 . 2 . 1 = 24 maneiras.<\/p>\n\n\n\n
Agora, somando os dois casos, teremos:<\/p>\n\n\n\n
24 + 24 = 48 maneiras.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[29],"class_list":["post-187","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analise-combinatoria","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=187"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":188,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions\/188"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=187"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=187"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=187"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}