Para essa quest\u00e3o voc\u00ea tem que saber que um n\u00famero natural qualquer pode ser escrito como a soma de pot\u00eancias de 10. Veja:<\/p>\n\n\n\n
12467 = 10000 + 2000 + 400 + 60 + 7<\/p>\n\n\n\n
72146 = 70000 + 2000 + 100 + 40 + 6<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o primerio vamos permutar os 5 n\u00fameros pra ver o que d\u00e1. Teremos sempre um n\u00famero de 5 algarismos da forma:<\/p>\n\n\n\n
_ _ _ _ _<\/p>\n\n\n\n
O primeiro n\u00famero pode ser qualquer um dos 5, ent\u00e3o temos 5 possibilidades de escolha:<\/p>\n\n\n\n
5 _ _ _ _<\/p>\n\n\n\n
O segundo n\u00famero s\u00f3 n\u00e3o pode ser igual ao primeiro, ent\u00e3o s\u00f3 sobraram 4 escolhas:<\/p>\n\n\n\n
5 4 _ _ _<\/p>\n\n\n\n
O terceiro n\u00e3o pode ser igual aos anteriores, ent\u00e3o s\u00f3 temos 3 op\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n
5 4 3 _ _<\/p>\n\n\n\n
Para o quarto n\u00famero s\u00f3 temos duas op\u00e7\u00f5es e o quinto n\u00famero ser\u00e1 o que sobrar, s\u00f3 temos uma op\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
5 4 3 2 1<\/p>\n\n\n\n
Usando o princ\u00edpio multiplicativo, o total de n\u00fameros que teremos permutando os 5 algarismos ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n
5.4.3.2.1 = 5! = 120<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o teremos que somar esses 120 n\u00fameros. Bom, repare que desses 120 n\u00fameros, quantas vezes aparece o n\u00famero 1 na primeira posi\u00e7\u00e3o? Vamos calcular assim, fixamos o 1 na primeira posi\u00e7\u00e3o e permutamos os outros n\u00fameros:<\/p>\n\n\n\n
1 _ _ _ _<\/p>\n\n\n\n
Na primeira posi\u00e7\u00e3o s\u00f3 teremos uma op\u00e7\u00e3o, pois queremos que seja o 1. Na segunda posi\u00e7\u00e3o teremos 4 op\u00e7\u00f5es, j\u00e1 que n\u00e3o pode ser o 1. Na terceira posi\u00e7\u00e3o teremos 3 op\u00e7\u00f5es, na quarta 2 op\u00e7\u00f5es e na quinta s\u00f3 uma op\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
1 4 3 2 1<\/p>\n\n\n\n
Usando o princ\u00edpio multiplicativo:<\/p>\n\n\n\n
1.4.3.2.1 = 24<\/p>\n\n\n\n
24 maneiras de colocar o 1 na primeira posi\u00e7\u00e3o. Mas isso n\u00e3o vale s\u00f3 para o 1, vale para todos os algarismos em quest\u00e3o. Teremos 24 n\u00fameros come\u00e7ados com 1, 24 n\u00fameros come\u00e7ados com 2, 24 n\u00fameros come\u00e7ados com 4, 24 n\u00fameros come\u00e7ados com 6 e 24 n\u00fameros come\u00e7ados com 7, totalizando os 120 n\u00fameros.<\/p>\n\n\n\n
Da mesma forma voc\u00ea pode pensar quantos n\u00fameros destes 120, t\u00eam o 1 na segunda posi\u00e7\u00e3o, e como as contas s\u00e3o as mesmas, ver\u00e1 que teremos 24 n\u00fameros com o 1 na segunda posi\u00e7\u00e3o. Assim como teremos 24 n\u00fameros com o 2 na segunda posi\u00e7\u00e3o, etc…<\/p>\n\n\n\n
Enfim, cada algarismo aparece 24 vezes em cada posi\u00e7\u00e3o de um n\u00famero de 5 algarismos.<\/p>\n\n\n\n
Primeiro vamos somar as unidades. Temos 24 vezes o 1 como unidade, 24 vezes o 2 como unidade, 24 vezes o 4 como unidade, 24 vezes o 6 como unidade e 24 vezes o 7 como unidade. Ent\u00e3o temos que somar:<\/p>\n\n\n\n
= 24.1 + 24.2 + 24.4 + 24.6 + 24.7<\/p>\n\n\n\n
= 24.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)<\/p>\n\n\n\n
= 24.20<\/p>\n\n\n\n
Agora vamos somar as dezenas. Da mesma maneira cada algarismo aparece 24 vezes em cada posi\u00e7\u00e3o, mas agora, na posi\u00e7\u00e3o das dezenas, cada n\u00famero fica multiplicado por 10. Teremos ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
= 24.10 + 24.20 + 24.40 + 24.60 + 24.70<\/p>\n\n\n\n
= 24.(10 + 20 + 40 + 60 + 70)<\/p>\n\n\n\n
= 24.10.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)<\/p>\n\n\n\n
= 24.10.20<\/p>\n\n\n\n
E assim seguimos para as centenas:<\/p>\n\n\n\n
= 24.100 + 24.200 + 24.400 + 24.600 + 24.700<\/p>\n\n\n\n
= 24.(100 + 200 + 400 + 600 + 700)<\/p>\n\n\n\n
= 24.100.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)<\/p>\n\n\n\n
= 24.100.20<\/p>\n\n\n\n
E para as milhares:<\/p>\n\n\n\n
= 24.1000 + 24.2000 + 24.4000 + 24.6000 + 24.7000<\/p>\n\n\n\n
= 24.1000.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)<\/p>\n\n\n\n
= 24.1000.20<\/p>\n\n\n\n
E por fim as dezenas de milhares:<\/p>\n\n\n\n
= 24.10000 + 24.20000 + 24.40000 + 24.60000 + 24.70000<\/p>\n\n\n\n
= 24.10000.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)<\/p>\n\n\n\n
= 24.10000.20<\/p>\n\n\n\n
Agora vamos somar tudo isso:<\/p>\n\n\n\n
= 24.20+24.10.20 + 24.100.20 + 24.1000.20 + 24.10000.20<\/p>\n\n\n\n
= 24.20.(1 + 10 + 100 + 1000 + 10000)<\/p>\n\n\n\n
= 480.(11111)<\/p>\n\n\n\n
= 5333280<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[29],"class_list":["post-175","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analise-combinatoria","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/175","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=175"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/175\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":176,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/175\/revisions\/176"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=175"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=175"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=175"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}