Essa foi bem dif\u00edcil. Eu queria poder resolver de outra maneira, mas isso foi o melhor que consegui.<\/p>\n\n\n\n
Primeiro vamos pegar alguns n\u00fameros pequenos dessa forma, quero dizer, quando “m” \u00e9 pequeno. Para “m” igual a 1 n\u00e3o teremos um n\u00famero “b” que seja v\u00e1lido porque n\u00e3o teremos zeros entre o 1 e o 5 do n\u00famero “b”. Ent\u00e3o vamos come\u00e7ar com m = 2:<\/p>\n\n\n\n
a = 11 (1 repetido “m” vezes)<\/p>\n\n\n\n
b = 105 (“m – 1” zeros entre o 1 e o 5)<\/p>\n\n\n\n
a.b + 1 =<\/p>\n\n\n\n
= 1155 + 1<\/p>\n\n\n\n
= 1156<\/p>\n\n\n\n
Raiz(ab + 1) =<\/p>\n\n\n\n
= Raiz(1156)<\/p>\n\n\n\n
= 34<\/p>\n\n\n\n
Agora para m = 3:<\/p>\n\n\n\n
a = 111 (1 repetido “m” vezes)<\/p>\n\n\n\n
b = 1005 (“m – 1” zeros entre o 1 e o 5)<\/p>\n\n\n\n
a.b + 1 =<\/p>\n\n\n\n
= 111555 + 1<\/p>\n\n\n\n
= 111556<\/p>\n\n\n\n
Raiz(ab + 1) =<\/p>\n\n\n\n
= Raiz(111556)<\/p>\n\n\n\n
= 334<\/p>\n\n\n\n
Agora para m = 4:<\/p>\n\n\n\n
a = 1111 (1 repetido “m” vezes)<\/p>\n\n\n\n
b = 10005 (“m – 1” zeros entre o 1 e o 5)<\/p>\n\n\n\n
a.b + 1 =<\/p>\n\n\n\n
= 11115555 + 1<\/p>\n\n\n\n
= 11115556<\/p>\n\n\n\n
Raiz(ab + 1) =<\/p>\n\n\n\n
= Raiz(11115556)<\/p>\n\n\n\n
= 3334<\/p>\n\n\n\n
E podemos ver que temos um padr\u00e3o se repetindo, est\u00e1 sempre aumentando o n\u00famero de “3” antes do n\u00famero 4. Agora vamos fazer a multiplica\u00e7\u00e3o de 111…111 vezes 1000…0005:<\/p>\n\n\n\n
1000…0005<\/p>\n\n\n\n
x 111…111<\/p>\n\n\n\n
________________<\/p>\n\n\n\n
1000…0005<\/p>\n\n\n\n
1000…0005<\/p>\n\n\n\n
1000…0005<\/p>\n\n\n\n
………………………………..<\/p>\n\n\n\n
………………………………..<\/p>\n\n\n\n
………………………………..<\/p>\n\n\n\n
1000…0005<\/p>\n\n\n\n
1000…0005<\/p>\n\n\n\n
1000…0005<\/p>\n\n\n\n
________________<\/p>\n\n\n\n
111…1111555…5555<\/p>\n\n\n\n
Como temos “m – 1” zeros entre o 1 e o 5, se contarmos o 5, teremos m digitos. Como a cada linha da multiplica\u00e7\u00e3o, o 5 fica uma casa para a esquerda e o n\u00famero 111…111 tem m digitos, na \u00faltima linha o 5 ficar\u00e1 na “m-\u00e9sima” casa. Ent\u00e3o para todo 5 no final de cada linha, s\u00f3 haver\u00e1 zeros acima dele. Na casa “m + 1” aparece o primeiro 1, e abaixo dele ser\u00e1 tudo zero, assim como para os outros 1. Esse resultado \u00e9 um n\u00famero formado por “m” vezes 1 e “m” vezes 5.<\/p>\n\n\n\n
Agora repare que isso \u00e9 justamente o que est\u00e1vamos vendo nos exemplos para m = 2, 3 e 4. Vamos provar ent\u00e3o que sempre que tivermos um n\u00famero do tipo 333…3334 ao quadrado, teremos esse n\u00famero como resultado 111…111555…555, mais uma unidade. E al\u00e9m disso, teremos “m – 1” algarismos 3 para termos um resultado com “m” vezes o 1 e “m – 1” vezes o 5, e o \u00faltimo algarismo \u00e9 6. Vamos fazer a conta:<\/p>\n\n\n\n
333…3334<\/p>\n\n\n\n
x 333…3334<\/p>\n\n\n\n
________________<\/p>\n\n\n\n
1333…3336<\/p>\n\n\n\n
1000…0002<\/p>\n\n\n\n
1000…0002<\/p>\n\n\n\n
………………………………..<\/p>\n\n\n\n
………………………………..<\/p>\n\n\n\n
………………………………..<\/p>\n\n\n\n
1000…0002<\/p>\n\n\n\n
1000…0002<\/p>\n\n\n\n
1000…0002<\/p>\n\n\n\n
________________<\/p>\n\n\n\n
111…1111555…5556<\/p>\n\n\n\n
Como o n\u00famero tem “m” d\u00edgitos, o 1 da primeira linha s\u00f3 ter\u00e1 zeros abaixo dele, porque ele est\u00e1 na casa “m + 1” enquanto o dois da \u00faltima linha est\u00e1 na casa “m”. E acima de todos os 2 teremos um n\u00famero 3 da primeira linha! Al\u00e9m disso voc\u00ea pode ver que temos “m” vezes o d\u00edgito 1 e “m – 1” vezes o d\u00edgito 5 mais um d\u00edgito 6.<\/p>\n\n\n\n
Bom, agora para somarmos os algarismos desse n\u00famero, 333…3334, que \u00e9 a raiz de ab + 1, teremos que fazer a soma de “m – 1” vezes o n\u00famero 3 mais uma vez o n\u00famero 4:<\/p>\n\n\n\n
= (m – 1).3 + 4<\/p>\n\n\n\n
= 3m – 3 + 4<\/p>\n\n\n\n
= 3m – 3 + (3 + 1)<\/p>\n\n\n\n
= 3m + 1<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[30],"class_list":["post-105","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/105","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=105"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/105\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":106,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/105\/revisions\/106"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=105"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=105"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=105"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}