O problema diz que a.b = c e diz que se somarmos uma unidade a cada um dos algarismos de “a”, “b” e “c” essa equa\u00e7\u00e3o continua valendo.<\/p>\n\n\n\n
Num n\u00famero de 2 algarismos, ao acrescentarmos uma unidade a cada um dos algarismos, estaremos somando 11 unidades ao n\u00famero original. Isso porque estamos somando uma unidade ao algarismo das unidades, que equivale a 1 e estamos somando uma unidade ao algarismo das dezenas que equivale a somarmos 10 unidades ao n\u00famero original. Veja:<\/p>\n\n\n\n
25 somando uma unidade a cada algarismo:<\/p>\n\n\n\n
36, que \u00e9 25 + 11<\/p>\n\n\n\n
58 -> 69 (58 + 11)<\/p>\n\n\n\n
O mesmo acontece com um n\u00famero de 3 algarismos. Se somarmos uma unidade a cada algarismo, estaremos somando 111 unidades ao n\u00famero original, pois uma unidade a mais no algarismo das centenas equivale a somarmos 100 unidades, uma unidade a mais no algarismo das dezenas equivale a somarmos 10 e uma unidade a mais no algarismo das unidades equaivale a somarmos 1 no n\u00famero inicial.<\/p>\n\n\n\n
137 -> 248 (137 + 111)<\/p>\n\n\n\n
E assim voc\u00ea pode ver que se somarmos 1 unidade a cada algarismo de um n\u00famero de 5 digitos, estaremos somando 11111 ao n\u00famero original:<\/p>\n\n\n\n
65764 -> 76875 (65764 + 11111)<\/p>\n\n\n\n
O problema diz que “a” tem 2 algarismos, “b” tem 3 algarismos e “c” tem 5 algarismos. Sabemos que somando uma unidade a cada algarismo de “a” ficaremos com (a + 11); somando uma unidade a cada algarismo de “b” ficaremos com (b + 111); somando uma unidade a cada algarismo de “c” ficaremos com (c + 11111). E como a equa\u00e7\u00e3o continua sendo verdadeira, podemos escrever:<\/p>\n\n\n\n
(a + 11).(b + 111) = (c + 11111)<\/p>\n\n\n\n
ab + 11b + 111a + 1221 = c + 11111<\/p>\n\n\n\n
ab – c + 11b + 111a = 11111 – 1221, como ab = c,<\/p>\n\n\n\n
c – c + 11b + 111a = 9890<\/p>\n\n\n\n
11b + 111a = 9890<\/p>\n\n\n\n
E daqui n\u00e3o podemos ir muito longe. Ent\u00e3o, como sabemos que “a” e “b” s\u00e3o n\u00fameros inteiros vou mudar a cara dessa igualdade:<\/p>\n\n\n\n
11b + 111a = 9890<\/p>\n\n\n\n
11b = 9890 – 111a<\/p>\n\n\n\n
b = 9890\/11 – 111a\/11<\/p>\n\n\n\n
b = (899 + 1\/11) – 111a\/11<\/p>\n\n\n\n
b = (899 + 1\/11) – (10a + a\/11)<\/p>\n\n\n\n
b = 899 – 10a + 1\/11 – a\/11<\/p>\n\n\n\n
b = 899 – 10a + (1 – a)\/11<\/p>\n\n\n\n
Agora veja como ficou. “b” \u00e9 igual a 899 menos 10 vezes “a”, (que d\u00e1 um n\u00famero inteiro com certeza) mais (1 – a)\/11. A \u00fanica parte fracion\u00e1ria \u00e9 esse final (1 – a)\/11. Ent\u00e3o essa parte fracion\u00e1ria, na verdade, tem que ser inteira (pois “b” \u00e9 inteiro). Dessa forma, “a” tem que ser um m\u00faltiplo de 11 mais 1, porque ao fazermos (1 – a), ficaremos com um m\u00faltiplo de 11 e essa fra\u00e7\u00e3o ser\u00e1 um n\u00famero inteiro.<\/p>\n\n\n\n
a = 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89<\/p>\n\n\n\n
Como o problema diz que “a” s\u00f3 tem dois algarismos e que todos os algarismos de todos os 3 n\u00fameros (a, b, c) s\u00e3o menores que 9, a n\u00e3o pode ser 89. Ent\u00e3o “a” s\u00f3 pode ser:<\/p>\n\n\n\n
a = 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78<\/p>\n\n\n\n
E usando a equa\u00e7\u00e3o “b = 899 – 10a + (1 – a)\/11” para calcular os valores de “b” para cada um desses valores de “a”, voc\u00ea encontrar\u00e1 que “b” ser\u00e1 respectivamente:<\/p>\n\n\n\n
b = 778, 667, 556, 445, 334, 223, 112<\/p>\n\n\n\n
E como a.b = c, podemos achar os valores de “c” correspondentes:<\/p>\n\n\n\n
c = 9336, 15341, 18904, 20025, 18704, 14941, 8736<\/p>\n\n\n\n
Agora, de acordo com o enunciado, “c” tem 5 algarismos, todos os algarismos diferentes e menores que 9. Para os valores de “c” que encontramos temos que eliminar todos menos 1:<\/p>\n\n\n\n
9336 tem 4 algarismos<\/p>\n\n\n\n
15341 tem dois d\u00edgitos 1<\/p>\n\n\n\n
18904 tem um algarismo 9<\/p>\n\n\n\n
20025 tem d\u00edgitos repetidos<\/p>\n\n\n\n
14941 tem d\u00edgitos repetidos<\/p>\n\n\n\n
8736 tem 4 algarismos<\/p>\n\n\n\n
O \u00fanico valor de “c” que vale \u00e9 ent\u00e3o 18704, e os valores de “a” e “b” correpondentes s\u00e3o 56 e 334 respectivamente. Como o problema pediu a + b + c:<\/p>\n\n\n\n
a = 56, b = 334, c = 18704<\/p>\n\n\n\n
a + b + c =<\/p>\n\n\n\n
= 56 + 334 + 18704<\/p>\n\n\n\n
= 19094<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[30],"class_list":["post-103","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/103","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=103"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/103\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":104,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/103\/revisions\/104"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=103"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=103"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=103"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}