2) Seja um triângulo com dois de seus lados medindo 2m e 5m e área igual a 3m². Se o ângulo entre esses dois lados do triângulo triplicar, a área do mesmo será aumentada, em quantos m²?

a) 36/25     b) 42/25     c) 12/5     d) 14/5

Resolução:

Essa pergunta é muito interessante. Para ela vamos usar a fórmula da área do triângulo que usa o seno de um dos ângulos compreendido entre dois lados que sabemos as medidas. A fórmula é:

Área = a.b.(sen C)/2

onde a e b são dois lados e C é o ângulo entre eles.

Com isso, podemos achar o seno do ângulo entre os dois lados dados, já que foi dada também a área. Usando a fórmula:

Área = a.b.(sen C)/2

3 = 2.5.(sen C)/2

3 = 5.(sen C)

3/5 = sen C

sen C = 3/5

Como o problema diz que o ângulo foi triplicado, supondo que as medidas dos lados se mantiveram, precisaremos do seno do ângulo que é o triplo deste para sabermos a área do novo triângulo. Você pode encontrar a fórmula do seno de 3x em função do seno de x assim:

sen 3x = sen (2x + x)

= (sen 2x).(cos x) + (sen x).(cos 2x)

= 2.(sen x).(cos x).(cos x) + (sen x).(cos² x – sen² x)

= 2.(sen x).(cos² x) + (sen x).(cos² x) – sen³ x

= 3.(sen x).(1 – sen² x) – sen³ x

= 3sen x – 4sen³ x

Então vamos usar essa fórmula para acharmos o valor do seno de 3x:

sen 3x = 3sen x – 4sen³ x

= 3(3/5) – 4(3/5)³

= 9/5 – 4(27/125)

= 9/5 – 108/125

= 225/125 – 108/125

sen 3x = 177/125

E agora podemos calcular a área do novo triângulo:

Área’ = a.b.(sen C)/2

Área’ = 2.5.(sen 3x)/2

Área’ = 2.5.(117/125)/2

Área’ = 5.(117/125)

Área’ = 117/25 m²

Para sabermos então, em quantos metros quadrados a área do triângulo foi aumentada, temos que fazer a diferença da área final pela área inicial:

Área’ – Área =

= 117/25 – 3

= 117/25 – 75/25

= 42/25 m²