Resolução:
Para resolver essa questão você deve analisar o sinal do numerador e do denominador e depois juntar as duas análises. Vamos fazer então um de cada vez, começando pelo numerador:
x⁴ + 12x³ + 6x² – 148x – 15
Sabemos que as raízes racionais serão divisores de 15. Então se você testar x = 3, verá que ele é raiz:
= x⁴ + 12x³ + 6x² – 148x – 15
= 3⁴ + 12.3³ + 6.3² – 148.3 – 15
= 81 + 12.27 + 6.9 – 444 – 15
= 81 + 324 + 54 – 444 – 15
= 0
Então podemos fatorar o numerador, dividindo-o por x – 3:
x⁴ + 12x³ + 6x² – 148x – 15 | x – 3
-x⁴ + 3x³ ———
———- x³ + 15x² + 51x + 5
15x³ + 6x²
-15x³ + 45x²
————
51x² – 148x
-51x² + 153x
————
5x – 15
-5x + 15
——–
0
E ficamos com:
= x⁴ + 12x³ + 6x² – 148x – 15
= (x – 3).(x³ + 15x² + 51x + 5)
Mas o segunto fator, x³ + 15x² + 51x + 5, também pode ser simplificado, pois como os divisores de 5 podem ser raízes, se você fizer x = -5:
= x³ + 15x² + 51x + 5
= (-5)³ + 15.(-5)² + 51(-5) + 5
= -125 + 15.25 – 255 + 5
= -125 + 375 – 255 + 5
= 0
Então podemos dividí-lo por x + 5:
x³ + 15x² + 51x + 5 | x + 5
-x³ – 5x² ——-
——— x² + 10x + 1
10x² + 51x
-10x² – 50x
———–
x + 5
-x – 5
——
0
E agora o quociente não tem raízes reais. Vamos resolver essa equação para ver as raízes:
x² + 10x + 1 = 0
Pela fórmula de Báskara encontramos que:
x = -5 +- 2.raiz(6)
Ficamos então com:
x⁴ + 12x³ + 6x² – 148x – 15
= (x – 3).(x + 5).(x² + 10x + 1)
E as raízes são:
x = -5 – 2.raiz(6), -5, -5 + 2.raiz(6), 3
Como temos um polinômio de quarto grau, para valores de x negativos bem pequenos (indo para menos infinito), a função tem valores positivos. Daí a cada raiz o sinal da função troca. O esquema ficaria assim:
+++[-5-2.raiz(6)]—[-5]+++[-5+2.raiz(6)]—[3]+++
As raízes estão entre colchetes e os sinais entre elas são os sinais da função. Veja que -5 – 2.raiz(6) é aproximadamente -9,9 e -5 + 2.raiz(6) é aproximadamente -0,1.
Agora vamos ao denominador:
x⁵ – x⁴ – 8x³ + 12x² – x – 3
Como as raízes racionais desse polinômio podem ser os divisores de 3, se fizermos x = 1 veremos que ele é raiz:
= x⁵ – x⁴ – 8x³ + 12x² – x – 3
= 1⁵ – 1⁴ – 8.1³ + 12.1² – 1 – 3
= 1 – 1 – 8 + 12 – 1 – 3
= 0
Então podemos dividí-lo por x – 1:
x⁵ – x⁴ – 8x³ + 12x² – x – 3 | x – 1
-x⁵ + x⁴ ———
———- x⁴ – 8x² + 4x + 3
0 -8x³ + 12x²
8x³ – 8x²
———–
4x² – x
-4x² + 4x
———
3x – 3
-3x + 3
——-
0
E ficamos com:
= x⁵ – x⁴ – 8x³ + 12x² – x – 3
= (x – 1).(x⁴ – 8x² + 4x + 3)
Mas o quociente ainda admite 1 como raiz:
= x⁴ – 8x² + 4x + 3
= 1⁴ – 8.1² + 4.1 + 3
= 1 – 8 + 4 + 3
= 0
Então fazendo a divisão para simplificar:
x⁴ – 8x² + 4x + 3 | x – 1
-x⁴ + x³ ———
———- x³ + x² – 7x – 3
x³ – 8x²
-x³ + x²
———
-7x² + 4x
7x² – 7x
———
-3x + 3
3x – 3
——-
0
E ficamos com:
= x⁵ – x⁴ – 8x³ + 12x² – x – 3
= (x – 1).(x – 1).(x³ + x² – 7x – 3)
= (x – 1)².(x³ + x² – 7x – 3)
Mas o quociente ainda admite -3 como raiz:
= x³ + x² – 7x – 3
= (-3)³ + (-3)² – 7.(-3) – 3
= -27 + 9 + 21 – 3
= 0
E fazendo a divisão:
x³ + x² – 7x – 3 | x + 3
-x³ – 3x² ——-
——— x² – 2x – 1
-2x² – 7x
2x² + 6x
———–
-x – 3
x + 3
—–
0
E ficamos com:
= x⁵ – x⁴ – 8x³ + 12x² – x – 3
= (x – 1)².(x³ + x² – 7x – 3)
= (x – 1)².(x + 3).(x² – 2x – 1)
E agora o quociente não tem raízes racionais. Então vamos resolver a equação pela fórmula de Báskara para encontrarmos as raízes:
x² – 2x – 1 = 0
x = 1 +- raiz(2)
Então temos todas as raízes:
x = -3, 1 – raiz(2), 1, 1 + raiz(2)
(sendo que o um é uma raiz com multiplicidade 2)
Como temos um polinômio de grau 5, para valores bem pequenos (indo para menos infinito) a função tem sinal negativo. Aí o sinal da função troca a cada raiz. Mas como 1 é uma raiz dupla, a função não troca de sinal nesse ponto. Então o esquema dos sinais fica:
—[-3]+++[1-raiz(2)]—[1]—[1+raiz(2)]+++
Que é o mesmo que:
—[-3]+++[1-raiz(2)]—[1+raiz(2)]+++
As raízes estão entre colchetes e os sinais entre elas são os sinais da função. Veja que 1 – raiz(2) é aproximadamente -0,41 e 1 + raiz(2) é aproximadamente 2,41.
E agora vamos fazer a divisão dos sinais:
+++[-5-2raiz(6)]—[-5]++++++++++++++++[-5+2raiz(6)]——————-[3]+++
————————–[-3]+++[1-raiz(2)]——————–[1+raiz(2)]+++++++++
============================================================
—[-5-2raiz(6)]+++[-5]—]-3[+++]1-raiz(2)[—[-5+2raiz(6)]+++]1+raiz(2)[—[3]+++
Repare que eu coloquei no resultado algumas raízes entre colchetes invertidos ] [, pois as raízes do denominador fazem com que o denominador seja igual a zero e aí a divisão não existe.
Como queremos que essa divisão seja menor ou igual a zero, temos que olhar os sinais do resultado e ver onde temos isso.
Resposta:
S = {x <= -5 – 2.raiz(6) ou -5 <= x < -3 ou 1 – raiz(2) < x <= -5 + 2.raiz(6) ou 1 + raiz(2) < x <= 3}