Resolução:
Se a função f(x) = ax² + bx + c admite duas raízes reais iguais, seu determinante é igual a zero. Então vamos calcular seu determinante:
D = b² – 4ac
b² – 4ac = 0 (i)
E se a sequência (a, b, c) é uma PA de razão raiz(3), podemos escrever os 3 termos da PA em função de b, para facilitar. Como numa PA um termo é sempre o anterior mais a razão, isso quer dizer que o termo anterior é o termo menos a razão:
= (a, b, c)
= (a, b, b + raiz(3))
= (b – raiz(3), b, b + raiz(3))
Portanto:
a = b – raiz(3)
c = b + raiz(3)
E podemos colocar isso na equação (i) que tínhamos:
b² – 4ac = 0
b² – 4.[b – raiz(3)].[b + raiz(3)] = 0
b² – 4.[b² – raiz(3)²] = 0
b² – 4.(b² – 3) = 0
b² – 4b² + 12 = 0
-3b² + 12 = 0
12 = 3b²
4 = b²
b = +-2
Como o problema diz que “a” é maior que zero, b só pode ser igual a 2 (se fosse -2 “a” seria negativo).
O ponto onde o gráfico corta o eixo das ordenadas, que é o eixo vertical, é o valor que a função assume quando x = 0, pois ali os eixos se cruzam. Mas quando x = 0, temos:
f(x) = ax² + bx + c
f(0) = a.0² + b.0 + c
f(0) = c
Então temos que achar o valor de c. Como temos o valor de b:
c = b + raiz(3)
c = 2 + raiz(3)
Resposta: O gráfico de f(x) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 2 + raiz(3))